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CHAPITRE III.

l’étendue de la ligne ; et si avant ou après l’intégration on fait $y={\tfrac {1}{2}}\pi$, on connaîtra la quantité de chaleur qui, pendant l’unité de temps, sort de la lame en traversant l’arête infinie C. On pourra ensuite comparer cette dernière quantité à la dépense de la source de chaleur ; car il est nécessaire que le foyer supplée continuellement la chaleur qui s’écoule dans les masses B et C. Si cette compensation n’avait pas lieu à chaque instant, le système des températures serait variable.

194.

L’équation $(\alpha )$ donne

${\begin{aligned}{}-\mathrm {K} {\frac {dv}{dx}}={\frac {\mathrm {4K} }{\pi }}\left(e^{-x}\cdot \cos .y-e^{-3x}\right.&\cos .3y+e^{-5x}\cos .5y\\&\left.-e^{-7x}\cos .7y+\mathrm {etc.} \right)\\\end{aligned}}$

multipliant par $dy,$ intégrant depuis $y=0,$ on a

${\begin{aligned}{}{\frac {4\mathrm {K} }{\pi }}\left(e^{-x}\cdot \sin .y-{\frac {1}{3}}e^{-3x}\right.&\sin .3y+{\frac {1}{5}}e^{-5x}\sin .5y\\&\left.-{\frac {1}{7}}e^{-7x}\sin .7y+\mathrm {etc.} \right)\cdot \\\end{aligned}}$

Si l’on fait $y={\tfrac {1}{2}}\pi ,$ et si l’on double l’intégrale, on trouvera :

${\frac {8\mathrm {K} }{\pi }}\left(e^{-x}+{\frac {1}{3}}e^{-3x}+{\frac {1}{5}}e^{-5x}+{\frac {1}{7}}e^{-7x}+\mathrm {etc.} \right)$

pour l’expression de la quantité de chaleur qui, pendant l’unité de temps, traverse une ligne parallèle à la base et dont la distance à cette base est $x.$