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THÉORIE DE LA CHALEUR.

si maintenant on écrit $e^{x{\sqrt {-1}}}$ au lieu de $u$ dans l’équation $(c)$ et dans l’équation $(d)$ on aura :

${\begin{aligned}{}{\frac {1}{2}}\pi &=\mathrm {arc.tang.} e^{x{\sqrt {-1}}}+\mathrm {arc.tang.} e^{-x{\sqrt {-1}}}\\\mathrm {et} \quad {\frac {1}{4}}\pi &=\cos .x-{\frac {1}{3}}\cos .3x+{\frac {1}{5}}\cos .5x-{\frac {1}{7}}\cos .7x+{\frac {1}{9}}\cos .9x-\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

la série de l’équation $(d)$ est toujours divergente, et celle de l’équation $(b)$ est toujours convergente ; sa valeur est ${\tfrac {1}{4}}\pi$ ou $-{\tfrac {1}{4}}\pi .$

SECTION IV.

Solution générale.

190.

On peut maintenant former la solution complète de la question que nous nous sommes proposée ; car les coëfficients de l’équation $(b)$ (art. 168) étant déterminés, il ne reste plus qu’à les substituer, et l’on aura :

${\begin{aligned}{}{\frac {\pi \,v}{4}}&=e^{-x}\cos .y-{\frac {1}{3}}e^{-3x}\cos .3y+{\frac {1}{5}}e^{-5x}\cos .5y\\&-{\frac {1}{7}}e^{-7x}\cos .7y+{\frac {1}{9}}e^{-9x}\cos .9y+\mathrm {etc.} \quad ({\boldsymbol {\alpha }}).\\\end{aligned}}$

Cette valeur de $v$ satisfait à l’équation ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}=0\,;$ elle devient nulle lorsqu’on donne à $y$ une valeur égale à ${\tfrac {1}{2}}\pi$ ou $-{\tfrac {1}{2}}\pi \,;$ enfin, elle équivaut à l’unité, toutes les fois que $x$ étant