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CHAPITRE III.

${\begin{aligned}{}2y=c&-{\frac {1}{2m}}\sec .x\cos .2mx+{\frac {1}{2^{2}m^{2}}}.\sec .'x\sin .2mx\\&+{\frac {1}{2^{3}m^{3}}}\sec .''x\cos .2mx+{\frac {\mathrm {K} }{2^{3}m^{3}}}\left(\sec .''x-\sec .''0\right),\\\end{aligned}}$

dans laquelle la quantité ${\tfrac {\mathrm {K} }{2^{3}m^{3}}}(\sec .''x-\sec .''0)$ exprime exactement la somme de tous les derniers termes de la série infinie.

187.

Si l’on eût cherché deux termes seulement, on aurait eu l’équation

${\begin{aligned}{}2y=c-{\frac {1}{2m}}\sec .x\cos .2mx&+{\frac {1}{2^{2}m^{2}}}.\sec .'x\sin .2mx\\&+{\frac {\mathrm {K} }{2^{2}m^{2}}}\left(\sec .'x-\sec .'0\right).\\\end{aligned}}$

Il résulte de là que l’on peut développer la valeur de $y$ en autant de termes que l’on voudra, et exprimer exactement le reste de la série ; on trouve ainsi cette suite d’équations :

${\begin{aligned}{}2y&=c-{\frac {1}{2m}}\sec .x\,\cos .2mx+{\frac {\mathrm {K} }{2^{2}m^{2}}}\left(\sec .x-\sec .0\right)\\2y&=c-{\frac {1}{2m}}\sec .x\,\cos .2mx+{\frac {1}{2^{2}m^{2}}}.\sec .'x\,\sin .2mx\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad +{\frac {\mathrm {K} }{2^{2}m^{2}}}\left(\sec .'x-\sec .'0\right).\\2y&=c-{\frac {1}{2m}}\sec .x\,\cos .2mx+{\frac {1}{2^{2}m^{2}}}.\sec .'x\,\sin .2mx\\&\qquad +{\frac {1}{2^{3}m^{3}}}\sec .''x\,cos.2mx+{\frac {\mathrm {K} }{2^{3}m^{3}}}\left(\sec .''x-\sec .''0\right).\\\end{aligned}}$

Le nombre $\mathrm {K}$ qui entre dans ces équations n’est pas le même pour toutes, et il représente dans chacune une certaine