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CHAPITRE III.

180.

On intégrera le second membre par parties, en distinguant dans l’intégrale le facteur $\sin .2mx.dx,$ qui doit être intégré successivement, et le facteur ${\frac {1}{\cos .x}}$ ou $\sec .x$ que l’on doit différencier successivement ; désignant les résultats de ces différenciations par $\sec .'x,$ $\sec .''x,$ $\sec .'''x,\dots$ etc., on aura $2y=\mathrm {const.} -{\frac {1}{2m}}\cdot \cos .2mx.\sec .x$

$+{\frac {1}{2^{2}.m^{2}}}\sin .2mx\sec 'x-{\frac {1}{2^{2}.m^{2}}}\cos .2mx\sec ''x+\mathrm {etc.}$

ainsi la valeur de $y$ ou

$\cos .x-{\frac {1}{3}}\cos .3x+{\frac {1}{5}}\cos .5x-{\frac {1}{7}}\cos .7x\dots +{\frac {1}{2m-1}}\cos .{\overline {2m-1}}x,$

qui est une fonction de $x$ et $m,$ se trouve exprimée par une série infinie ; et il est manifeste que plus le nombre $m$ augmente, plus la valeur de $y$ approche de celle de la constante. C’est pourquoi, lorsque le nombre $m$ est infini, la fonction $y$ a une valeur déterminée qui est toujours la même, quelle que soit la valeur positive de $x,$ moindre que ${\tfrac {1}{2}}\pi .$ Or, si l’on suppose l’arc $x$ nul, on a

$y=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\mathrm {etc.} ,$

qui équivaut à ${\tfrac {1}{4}}\pi .$ Donc on aura généralement ${\frac {1}{4}}\pi =\cos .x$ $-{\frac {1}{3}}\cos .3x+{\frac {1}{5}}\cos .5x-{\frac {1}{7}}\cos .7x+{\frac {1}{9}}\cos .9x-\mathrm {etc.} \quad ({\boldsymbol {b}}).$