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THÉORIE DE LA CHALEUR.

valeur particulière de $v,$ on déduira des équations précédentes $\mathrm {F} x=e^{-mx},$ $fy=\cos .my.$

168.

On ne pourrait point supposer que $m$ est un nombre négatif, et l’on doit nécessairement exclure toutes les valeurs particulières de $v,$ où il entrerait des termes tels que $e^{mx},$ $m$ étant un nombre positif, parce que la température $v$ ne peut point devenir infinie, lorsque $x$ est infiniment grande. En effet la chaleur n’étant fournie que par la source constante A, il ne peut en parvenir qu’une portion extrêmement petite dans les points de l’espace, qui sont très-éloignés du foyer. Le reste se détourne de plus en plus vers les arêtes infinies B et C, et se perd dans les masses froides qu’elles terminent.

L’exposant $m$ qui entre dans la fonction $e^{-mx}.\cos .my$ n’est pas déterminé, et l’on peut choisir pour cet exposant un nombre positif quelconque : mais, pour que $v$ devienne nulle en faisant $y=-{\tfrac {1}{2}}\pi$ ou $y=+{\tfrac {1}{2}}\pi ,$ quelle que soit $x,$ on prendra pour $m$ un des termes de la suite, 1, 3, 5, 7, 9, etc. ; par ce moyen la seconde condition sera remplie.

169.

On formera facilement une valeur plus générale de $v,$ en ajoutant plusieurs termes semblables aux précédents, et l’on aura $v=a\,e^{-x}\cos .y$ + $b\,e^{-3x}\cos .3y$ + $c\,e^{-5x}\cos .5y$ + $d\,e^{-7x}.\cos 7y+\dots \mathrm {etc.} \quad ({\boldsymbol {b}}).$ Il est évident que cette fonction $v$ désignée par $\varphi (x,y)$ satisfait à l’équation ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}=0,$ et à la condition $\varphi (x,\pm {\tfrac {1}{2}}\pi )=0.$ Il reste