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THÉORIE DE LA CHALEUR.

toujours 1, et que les côtés B et C conservent dans tous leurs points la température 0.

Si l’on élevait en chaque point m une coordonnée verticale égale à la température $v,$ on formerait une surface courbe qui s’étendrait au-dessus de la lame et se prolongerait à l’infini. Nous chercherons à connaître la nature de cette surface qui passe par une ligne parallèle élevée au-dessus de l’axe des $y,$ à une distance égale à l’unité, et qui coupe le plan horizontal, suivant les deux arêtes infinies parallèles aux $x.$

166.

Pour appliquer l’équation générale

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right),$

on considérera que, dans le cas dont il s’agit, on fait abstraction d’une coordonnée $z,$ en sorte que le terme ${\frac {d^{2}v}{dz^{2}}},$ doit être omis ; quant au premier membre ${\frac {dv}{dt}},$ il s’évanouit, puisqu’on veut déterminer les températures stationnaires ; ainsi l’équation qui convient à la question actuelle, et détermine les propriétés de la surface courbe cherchée est celle-ci,

${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}=0\qquad ({\boldsymbol {a}}).$

La fonction de $x$ et $y,$ $\varphi (x,y)$ qui représente l’état permanent du solide BAC, doit 1^o  satisfaire à l’équation $(a)\,;$ 2^o  devenir nulle lorsqu’on substitue $-{\tfrac {1}{2}}\pi$ ou $+{\tfrac {1}{2}}\pi$ au lieu de $y,$ quelle que soit d’ailleurs la valeur de $x\,;$ 3^o  elle doit être égale à l’unité, si l’on suppose $x=0,$ et si l’on attribue à $y$