Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/183

Cette page a été validée par deux contributeurs.

151

CHAPITRE II.

ment de la chaleur dans une sphère qui a été plongée dans un liquide, on regardera $v$ comme une fonction de $r$ et $t\,;$ $r$ est une fonction de $x,\,y,\,z$ , donnée par l’équation

r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},

$r$ étant le rayon variable d’une enveloppe. On aura ensuite

{\begin{array}{lcl}{\dfrac {dv}{dx}}={\dfrac {dv}{dr}}\!\cdot \!{\dfrac {dr}{dx}}&\mathrm {et} &{\dfrac {d^{2}v}{dx^{2}}}={\dfrac {d^{2}v}{dr^{2}}}\left({\dfrac {dr}{dx}}\right)^{2}+{\dfrac {dv}{dr}}\!\cdot \!{\dfrac {d^{2}r}{dx^{2}}}\\{\dfrac {dv}{dy}}={\dfrac {dv}{dr}}\!\cdot \!{\dfrac {dr}{dy}}&\mathrm {et} &{\dfrac {d^{2}v}{dy^{2}}}={\dfrac {d^{2}v}{dr^{2}}}\left({\dfrac {dr}{dy}}\right)^{2}+{\dfrac {dv}{dr}}\!\cdot \!{\dfrac {d^{2}r}{dy^{2}}}\\{\dfrac {dv}{dz}}={\dfrac {dv}{dr}}\!\cdot \!{\dfrac {dr}{dz}}&\mathrm {et} &{\dfrac {d^{2}v}{dz^{2}}}={\dfrac {d^{2}v}{dr^{2}}}\left({\dfrac {dr}{dz}}\right)^{2}+{\dfrac {dv}{dr}}\!\cdot \!{\dfrac {d^{2}r}{dz^{2}}}\\\end{array}}

En faisant les substitutions dans l’équation

{\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right),

on aura

\!{\frac {dv}{dt}}\!=\!{\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\!\cdot \!\left(\!{\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}\left\{\!\left(\!{\frac {dr}{dx}}\!\right)^{2}\!+\!\left(\!{\frac {dr}{dy}}\!\right)^{2}\!+\!\left(\!{\frac {dr}{dz}}\!\right)^{2}\!\right\}+{\frac {dv}{dr}}\left(\!{\frac {d^{2}r}{dx^{2}}}\!+\!{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}\!+\!{\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}\!\right)\right)\;\;({\boldsymbol {a}})

L’équation $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$ fournit les résultats suivants :

{\begin{array}{lcl}x=r{\dfrac {dr}{dx}}&\mathrm {et} &1=\left({\dfrac {dr}{dx}}\right)^{2}+r{\dfrac {d^{2}r}{dx^{2}}}\\y=r{\dfrac {dr}{dy}}&\mathrm {et} &1=\left({\dfrac {dr}{dy}}\right)^{2}+r{\dfrac {d^{2}r}{dy^{2}}}\\z=r{\dfrac {dr}{dz}}&\mathrm {et} &1=\left({\dfrac {dr}{dz}}\right)^{2}+r{\dfrac {d^{2}r}{dz^{2}}}.\\\end{array}}

Les trois équations du premier ordre donnent :

x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\left\{\left({\frac {dr}{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}\right\}\cdot

Les trois équations du second ordre donnent

3=\left({\frac {dr}{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}+r\left\{{\frac {d^{2}r}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}\right\}\,;