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CHAPITRE II.

SECTION VIII.

Applications des équations générales.

155.

Désignons par $r$ le rayon variable d’une enveloppe cylindrique quelconque, et supposons, comme précédemment dans l’art. 118, que toutes les molécules également éloignées de l’axe ont à chaque instant une température commune ; $v$ sera une fonction de $r$ et $t$ ; $r$ est une fonction de $y,z,$ donnée par l’équation $r^{2}=z^{2}+y^{2}.$ Il est évident, en premier lieu que la variation de $v$ par rapport à $x$ est nulle ; ainsi le terme ${\tfrac {d^{2}v}{dx^{2}}}$ doit être omis. On aura maintenant, suivant les principes du calcul différentiel, les équations :

${\begin{aligned}{\frac {dv}{dz}}&={\frac {dv}{dr}}\!\cdot \!{\frac {dr}{dz}}\;\;\mathrm {et} \;\;{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}\!\cdot \!\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}+{\frac {dv}{dr}}\!\cdot \!{\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}\;\;\\{\frac {dv}{dy}}&={\frac {dv}{dr}}\!\cdot \!{\frac {dr}{dy}}\;\;\mathrm {et} \;\;{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}\!\cdot \!\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}+{\frac {dv}{dr}}\!\cdot \!{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}\;\mathrm {;} \\\end{aligned}}$

donc

${\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\!+\!{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}\!=\!{\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}\!\left\{\!\left({\frac {dr}{dz}}\!\right)^{2}\!+\!\left({\frac {dr}{dy}}\!\right)^{2}\!\right\}+{\frac {dv}{dr}}\!\left\{\!{\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}\!+\!{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}\!\right\}\cdot \quad ({\boldsymbol {a}})$

Il faut remplacer dans le second membre les quantités

${\frac {dr}{dz}},\quad {\frac {dr}{dy}},\quad {\frac {d^{2}r}{dz^{2}}},\quad {\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}$

par leurs valeurs respectives ; pour cela on tirera de l’équation $z^{2}+y^{2}=r^{2}$

${\begin{aligned}z=r{\frac {dr}{dz}}\;\;\mathrm {et} &\;\;1=\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}+r{\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}\\y=r{\frac {dr}{dy}}\;\;\mathrm {et} &\;\;1=\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}+r{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}\\\end{aligned}}$