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CHAPITRE II.

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right)\cdot$

En effet, considérons le mouvement de la chaleur dans une molécule comprise entre six plans perpendiculaires aux axes des $x,$ des $y,$ et des $z\,;$ les trois premiers de ces plans passent par le point m, dont les coordonnées sont $x,\,y,\,z,$ et les trois autres passent par le point m’, dont les coordonnées sont $x+dx,$ $y+dy,$ $z+dz.$

La molécule reçoit pendant l’instant $dt,$ à travers le rectangle inférieur $dx\,dy,$ qui passe par le point m, une quantité de chaleur égale à $-\mathrm {K} \,dx\,dy\,{\frac {dv}{dz}}dt.$ Pour connaître la quantité qui sort de la molécule par la face opposée, il suffit de changer dans l’expression précédente $z$ en $z+dz,$ c’est-à-dire d’ajouter à cette expression sa propre différentielle prise par rapport à $z$ seulement ; on aura donc

$-\mathrm {K} \,dx.dy{\frac {dv}{dz}}-\mathrm {K} \,dx.dy{\frac {d\left({\dfrac {dv}{dz}}\right)}{dz}}dz\,dt$

pour la valeur de la quantité qui sort à travers le rectangle supérieur. La même molécule reçoit encore à travers le premier rectangle $dx\,dz$ qui passe par le point m, une quantité de chaleur égale à $\mathrm {K} {\frac {dv}{dy}}dx.dz.dt\,;$ et si l’on ajoute à cette expression sa propre différentielle prise par rapport à $y$ seulement, on trouve que la quantité qui sort à travers la face opposée $dx\,dz,$ a pour expression

$-\mathrm {K} {\frac {dv}{dy}}dx\,dz\,dt-\mathrm {K} {\frac {d\left({\dfrac {dv}{dy}}\right)}{dy}}dy\,dx\,dz\,dt.$