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THÉORIE DE LA CHALEUR.

et par $\lambda$ la distance $x_{2}-x_{1}$ de deux points de division consécutifs ; on aura les équations :

${\begin{aligned}v_{1}&=\mathrm {M} \alpha ^{x_{1}}+\mathrm {N} \alpha ^{-x_{1}}\\v_{2}&=\mathrm {M} \alpha ^{\lambda }\alpha ^{x_{1}}+\mathrm {N} \alpha ^{-\lambda }\alpha ^{-x_{1}}\\v_{3}&=\mathrm {M} \alpha ^{2\lambda }\alpha ^{2x_{1}}+\mathrm {N} \alpha ^{-2\lambda }\alpha ^{-2x_{1}},\\\end{aligned}}$

d’où l’on tire la relation suivante ${\frac {v_{1}+v_{3}}{v_{2}}}=\alpha ^{\lambda }+\alpha ^{-\lambda }.$ On trouverait un résultat semblable pour les trois points dont les températures sont $v_{2}\,v_{3}\,v_{4},$ et en général pour trois points consécutifs. Il suit de là que si l’on observait les températures $v_{1}\,v_{2}\,v_{3}\,v_{4}\,v_{5},$ etc., de plusieurs points successifs, tous placés entre les deux mêmes foyers m et n et séparés par un intervalle constant $\lambda ,$ on reconnaîtrait que trois températures consécutives quelconques sont toujours telles que la somme de deux extrêmes, divisée par la moyenne, donne un quotient constant $\alpha ^{\lambda }+\alpha ^{-\lambda }.$

108.

Si, dans l’espace compris entre deux autres foyers n et p, l’on observait les températures de divers autres points séparés par le même intervalle $\lambda ,$ on trouverait encore que pour trois points consécutifs quelconques, la somme des deux températures extrêmes, divisée par la moyenne, donne le même quotient $\alpha ^{\lambda }+\alpha ^{-\lambda }.$ La valeur de ce quotient ne dépend ni de la position, ni de l’intensité des foyers.

109.

Soit $q$ cette valeur constante, on aura l’équation

$v_{3}=qv_{2}-v_{1}$