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MAURICE FOUCHÉ. — L’HYPOTHÈSE DE LAPLACE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

leuse ait été composée de deux parties homogènes ellipsoïdales, concentriques et semblables ; un noyau condensé de rayon équatorial $b$ et de densité $\rho ,$ et une atmosphère de rayon extérieur $a$ et de densité $\sigma .$ Pour le calcul des moments d’inertie, on peut remplacer les couches ellipsoïdales par des couches sphériques de même masse et de même équateur, de sorte que $\rho$ et $\sigma$ représenteront non les densités réelles, mais celles qu’aurait la matière si elle était dilatée uniformément dans les sphères correspondantes. La masse du système étant connue, on a

$\mathrm {M} ={\frac {4}{3}}\pi \left[\rho b^{3}+\sigma (a^{3}-b^{3})\right]={\frac {4}{3}}\pi \mathrm {N} .$

Le moment total des quantités de mouvement ${\mathfrak {M}}$ est aussi connu :

${\frac {\mathfrak {M}}{\omega }}=\mathrm {I} ={\frac {8}{15}}\pi \left[\rho b^{5}+\sigma (a^{5}-b^{5})\right]={\frac {8}{15}}\pi \mathrm {K} .$

On déduit de ces équations, en posant $\rho -\sigma =\rho ',$

(1)

$\left\{{\begin{aligned}\rho 'b^{3}+\sigma a^{3}&=\mathrm {N} ,\\\rho 'b^{5}+\sigma a^{5}&=\mathrm {K} .\end{aligned}}\right.$

Si l’on suppose $a$ connu, il reste trois quantités $b,$ $\rho ',$ $\sigma$ à déterminer, et l’on n’a que deux équations. Nous profiterons de l’indétermination pour rendre $\sigma$ maximum. Le maximum de $\sigma$ correspond au minimum de $\rho 'b^{3}$ qui représente, au facteur $\textstyle {\frac {4}{3}}\pi$ près, la masse qui s’est condensée dans le noyau en plus de la masse de même densité que l’atmosphère. Or on tire des équations :

$\rho 'b^{3}={\frac {\mathrm {N} a^{2}-\mathrm {K} }{a^{2}-b^{2}}}\cdot$

Le minimum a lieu pour $b=0,$ le noyau est de dimension infiniment petite ; mais la densité y est infiniment grande, et la masse condensée est

${\frac {4}{3}}\pi \rho 'b^{3}={\frac {4}{3}}\pi \mathrm {N} -{\frac {4}{3}}\pi {\frac {\mathrm {K} }{a^{2}}}=\mathrm {M} -{\frac {4}{3}}\pi {\frac {\mathrm {K} }{a^{2}}}\cdot$

Le rapport de la masse atmosphérique à la masse totale serait donc

${\frac {4}{3}}\pi {\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {M} }}\cdot$

Or $\mathrm {K}$ peut être facilement calculé, à l’époque d’émission de l’anneau qui a formé Neptune, d’après la valeur numérique déjà trouvée pour ${\mathfrak {M}},$

$2\pi \mathrm {K} ={\frac {15}{4}}\mathrm {M} {\frac {\pi }{\omega }}={\frac {15}{4}}{\frac {2\pi }{\omega }}\times 0,00001={\frac {15}{4}}\times 0,60181.$

À l’origine, la masse de l’atmosphère de la nébuleuse aurait été au plus

${\frac {4}{3}}\pi {\frac {\mathrm {K} }{a^{2}}}=0,001666.$