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le Produit $x{\sqrt {aa-bb+2bx}}$ par $HL$ et soit faite ${\sqrt {aa-bb+2bx}}=y$. Les Lignes $HL$ perpendiculaires sur $EB$, formeront la Courbe $MLCN$. Et la Fluxion de l’Espace $HLC$ sera ${\dot {x}}x{\sqrt {aa-bb+2bx}}$ de la quelle Fluxion il faut trouver l’Integrale, pour avoir l’Espace $HLC$, e. c.; ou plutot pour avoir l’Espace $BMC$ moins l’Espace $ENC$. De l’équation $aa-bb+2bx=yy$, on tire les Equations ${\dot {x}}={\tfrac {y{\dot {y}}}{b}}$ et $x={\tfrac {yy}{2b}}+{\tfrac {1}{2}}b-{\tfrac {aa}{2b}}$. Et partant ${\dot {x}}x{\sqrt {aa-bb+2bx}}={\overline {{\tfrac {yy}{2b}}+{\tfrac {1}{2}}b-{\tfrac {aa}{2b}}}}\times {\tfrac {y^{2}\times {\dot {y}}}{b}}$, dont l’Integrale est ${\tfrac {y^{5}}{10bb}}+{\tfrac {y^{3}}{6}}-{\tfrac {aay^{3}}{6bb}}-q=0$. Suposons que le Point $N$ parte de $N$ pour couler sur la Ligne $NCM$, jusques en $M$, et qu’en même Tems l’Ordonnée $EN$, perpendiculaire sur $EB$, coule uniformement le long de la Ligne $EB$, pour venir se reposer en $BM$. Et on à par ce qui precede, la Fluxion de l’Aire $ENCLH$, ou $ENCMB$ dont la Partie $ENC$ est negative. Dans le cas ou $x$ est encore $=-CE$ l’Integrale cherchée n’est rien. Or en ce cas $x$ ou $-CE=b-a={\tfrac {yy}{2b}}+{\tfrac {1}{2}}b-{\tfrac {aa}{2b}}$, d’où il suit que $y=a-b$. Et substituant dans l’Integrale trouvée, les valeurs de $y^{5}$ et $y^{3}$ on aura ${\tfrac {1}{10bb}}\times \left[-{\tfrac {2a^{5}}{3}}+{\tfrac {20a^{3}bb}{3}}-{\tfrac {40aab^{3}}{3}}+10ab^{4}-{\tfrac {8b^{5}}{3}}\right]=q$. Maintenant $q$ étant determinée, si on fait $x=CB=b+a={\tfrac {yy}{2b}}+{\tfrac {1}{2}}b-{\tfrac {aa}{2b}}$ on aura ${\tfrac {8aab}{3}}+{\tfrac {8b^{3}}{15}}$ pour toute l’Aire $BMC$, moins l’Aire $ENC$. Enfin si chaque $x{\sqrt {aa-bb+2bx}}$, c’est à dire chaque Ordonnée $y$, est multipliée par la petite épaisseur ${\tfrac {\delta }{n}}$, on aura ${\tfrac {2a}{n}}$ ou $H{\mathcal {H}}$, est à ${\tfrac {\delta }{n}}$, c’est à dire $2a$ est à $\delta$ comme toute l’Aire $BMC$ moons l’Aire $ENC$, ou ${\tfrac {8aab}{3}}+{\tfrac {8b^{3}}{15}}$, est à la Partie de cette Aire, qui represente la Resistence cherchée ${\tfrac {4ab\delta }{3}}+{\tfrac {4b^{3}\delta }{15a}}$; precisement comme par le Premier Calcul.

Second cas. Si la Vitesse du Globe $C$ Fig. VIII et XI est plus grande, que celle des Parties de notre Matiere agitée.

Reprenons pareillement la Demonstration ci-dessus, jusques au Paragraphe, qui commence, comme la suite de Demonstration, qu’on va voir ici.

Ainsi donc cette Impression (vid. Fig. XI) est ${\tfrac {\delta }{n}}\times x\times {\sqrt {aa-bb+2bx}}$. Representons le Produit $x{\sqrt {aa-bb+2bx}}$, et soit faite ${\sqrt {aa-bb+2bx}}=y$. Les Lignes $HL$, Perpendiculaires, sur $EB$, formeront la courbe $MLN$, et la Fluxion de l’Espace $HLNE$ sera ${\dot {x}}\times x\times {\sqrt {aa-bb+2bx}}$: de la quelle Fluxion il faut trouver l’Integrale, pour avoir l’Espace $HLNE$