L’équation riemannienne s’écrira par suite :
où les
sont, on le voit, des fonctions des coordonnées primitives et dépendent de la transformation.
C’est entre ces
que nous devons établir notre relation intrinsèque exprimant la loi de la gravitation universelle.
C’est ici que l’ingéniosité d’Einstein apparaît. Nous avons vu que le passage d’un système d’axes à un autre en mouvement par rapport au premier peut s’exprimer comme une rotation d’axe. Cherchons donc le
correspond à un continu tournant autour d’un axe. Autrement dit, écrivons les formules de transformation suivantes :
![{\displaystyle {\begin{array}{l}x=f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}\cos wx_{4}-x_{2}\sin wx_{4},\\y=f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}\sin wx_{4}+x_{2}\cos wx_{4},\\z=x_{3},\\t=x_{4}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d968df23f3784d5912fa67a35f36a2abedec6d84)
Nous en tirons par dérivation
![{\displaystyle {\begin{array}{l}dx=\cos wx_{4}dx_{1}-\sin wx_{4}dx_{2}\\\qquad -w(x_{1}\sin wx_{4}+x_{2}\cos wx_{4})dx_{4},\\dy=\sin wx_{4}dx_{1}+\cos wx_{4}dx_{2}\\\qquad +w(x_{1}\cos wx_{4}-x_{2}\sin wx_{4})dx_{4},\\dz=dx_{3},\\dt=dx_{4}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d86d8afa7589452cc781ed3d3b9d46bb20740b)