Pour résoudre les problèmes posés par Pascal, il fallait faire des intégrations très complexes, et les vues qu’il développa à cette occasion portent au delà du cadre spécial des questions mises au concours. Le principe général posé par Cavalieri dans sa Géométrie des indivisibles est mis en pleine lumière par Pascal, qui soutient la légitimité de ce calcul des infiniment petits, encore enveloppé de brumes. La phrase suivante, précisant son emploi, répondait à certaines critiques : « On n’augmente pas une grandeur continue d’un certain ordre, formule Pascal, lorsqu’on lui ajoute en tel nombre que l’on voudra des grandeurs d’un ordre infinitésimal supérieur. » Peu à peu se clarifiait ainsi la notion de sommation ou d’intégration, posée sous d’autres points de vue par Eudoxe et par Archimède dans l’antiquité, et dont Fermât donnait de son côté des exemples relatifs aux paraboles de degrés supérieurs. On trouve dans l’ouvrage de Pascal sur la roulette, sous des formes géométriques extrêmement ingénieuses, les résultats fondamentaux se rapportant à ce que les géomètres appellent aujourd’hui les intégrales curvilignes et les intégrales doubles, et il suffit, pour indiquer la puissance de ces méthodes, de rappeler le beau théorème sur l’égalité à un arc d’ellipse d’un arc de cycloïde allongée ou raccourcie. N’oublions pas non plus que Leibniz a plus tard reconnu expressément tout ce qu’il devait aux ouvrages de Pascal. Les amis des sciences mathématiques regarderont toujours avec respect à la Bibliothèque de Clermont les deux exemplaires, offerts par Marguerite Perier, de la Lettre contenant la solution de tous les problèmes touchant la roulette, écrite par Pascal à M. Carcavi, sous le nom d’Amos Dettonville, qui était l’anagramme de Louis de Montalte, l’auteur des Provinciales. C’est le premier Traité de calcul intégral.
Telle fut, pendant les quelques années où il poursuivit des recherches scientifiques, l’œuvre de Blaise Pascal en mathématiques et en physique. Il y chercha surtout un délassement et une occasion d’exercer son vigoureux esprit. Depuis Lagrange et Laplace, on s’accorde à regarder Fermat, cet autre amateur de génie, comme le premier fon-
