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Δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ, οἱ Τʼ Δ, καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β οὕτως ὁ Ὲ πρὸς τὸν Ζ. λέγω ὁτι ὁσοι εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθ- μοὶ, τοσοῦτοι καὶ εἰς τούὺς Ε. Ζ μεταξὺὸ κατὰ τὸ συνέχὲές ἀνάλογον ἐμπεσουνται. |
Duos enim inter numeros A, B in continuum preportionales cadant numeri Γ, Δ, et fiat ut Δ ad B ita E ad Z ; dice quΔt inter A, B in con- tinuum proportionales cadunt numeri, totidem et inter E, Z in continuum proportionales ca- suros esse numeros. |
| A, 2 | Γ, 4. | Δ, 8. | B, 16. |
| H, 1. | Θ, 2. | K, 4. | Λ, 8. |
| E, 3. | M, 6. | N, 12. | Z, 24. |
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Οσοι γάρ εἰσι τῷ πλήθει οἱ, Γ, , Δ, Β, το- σοῦτοι εἰλήφθωσαν οἷἂξ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐυὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ, Β, οἱ Η, Θ, Κ, Δ. οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Η, ΔΛ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσί. Καὶ ἐπεὶ οἱ, Γ, Δ, Β τοίς Ὴ, Θ, Κ, ΔΛ ν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α, Γι Β, Δ τῷ πλύθει τῶνΗ, Θ, Κ, ΛΔ. διίσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Λ. ς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Β οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. ʼ καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Λ οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. Οἱ δὲ ΗΗ, Λ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ |
Quot enim sunt in multitudine ipsi A, Γ, Δ, B totidem sumantur minimi numeri eorum eamdem rationem habentium cum ipsis A, Γ, ΔΔ, B, ipsi H, $, K, A ; ergo exiremi erum H, A primi inter se sunt. Et quoniam A, Γ, Δ, B cum ipsis H, Θ ;, K, A in eádem ratione sunt, atque est æqualis multitudo ipsorum A, Γ, B, Δ mul- titudini ipsorum H, Θ, K, Δ ; ex æquo igitur est ut A ad B ita H ad A. Ut autem A ad B ita E ad Z, ; et ut igitur H ad &, ita E ad Z. Ipsi autem H, 4 primi, primi vero et mi- nimi, minimi autem numeri metiuntur æqua- |
Qu’entre les deux nombres Α, B tombent les nombres moyens proportionnels
Γ, n, et soit fait en sorte que Α soit à B comme E est à Ζ ; je dis qu’il tombera
entre E, Z autant de. nombres moyens proportionnels qu’il en tombe entre les
deux premiers Α, B.
Autant qu’il y a de nombres Α, Γ, Δ, B, autant soient pris de nombres qui soient les plus petits de ceux qui ont la même raison avec 4, T, , B (35. 7) ; et que ces nombres soient H, , K, ; leurs extrêmes H, Λ seront premiers entVeux (3. 8). Et puisque les nombres Α, Γ, Δ, B sont en même raison que H, , K, Δ, et que la quantité des nombres Α, Γ, B, à est égale à la quantité des nombres H, , K, , par égalité Α sera à Bcomme Hest à Λ (14-7). Mais Ûñ est à B comme E est à:Z; donc H est à n comme E est à Ζ. Mais les nombres H, Δ sont premiers ent&eux, et les nombres premiers sont les plus
