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Ω͂ς δὲ ὁΤτ πρὸς τὸν Ε οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ. χαὶ ὡς ἄρα ῆ4ἢ πρὸς τὸν Θ οὐτὼς ΟΑ σρὸς τον ΔΛ. Πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Λ, πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ τονΖ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποιηκὲν" ἐστιν ἀρὰ ὡς Ο Δ “πρὸς τὸν ζΖ ούτως Ο Λ προὸς τὸον Β. Αλλ ὡς Δ πρὸς τὸν Ζ Ουὐτὼς ὁΘ πρὸς τον Κʼ. καὶ ὡς ἄρὰ ο Θ σρίς τὸν Κ οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β. Εδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Θ οὐτὼς ΟΑ πρὸς τὸν Λο διΐσου αἀρὰ ἐστὶν ὡς » δ πρὸς τὸον Κ οὑτως3 δΑ πρὸς τὸν Β. Ο δὲ Η πρὸς τὸν Κ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρων. » καιοΑ ἄρα πρὸς ΤονΒ λόγον έἐχειῖ τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
et ut igitur H ad & ita A ad 4A. Rursus, quo- niam E ipsum Δ multiplicans ipsum A fecit, sed autem et ipsum Z multiplicans ipsum B fecit ; est igitur ut Δ ad Z ita A ad B. Sed ut Δ ad Z ita e ad K ; et ut igitur Θ ad K ita A ad B. Ostensum est autem ut H ad P ita A ad 4 ; ex æquo igitur est ut H ad K ita A ad B. Ipse autem H ad K rationem habet compositam ex la- teribus ; et A igitur ad B rationem habet com- positam. ex lateribus. Quod oportebat, ostendere. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ς'. | PROPOSITIO VI. |
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Εάὰνκ ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, ὁ δὲ πρῶτος τὸν δεύτερον μὴ μετρεῖ. οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει. |
Si sint quoteunque numeri deinceps propor- tionales, primus autem secundum non metiatur, neque alius aliquis ullum metietur. |
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Εστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ Α, Β, Γ, Δ, E, ὁ δὲ Α τὸν Β μὴ μετρείτω". λέγω ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδέγα μετρήσει. |
Sint quetcunque numeri deinceps proportio- nales A, B, Γ, Δ, E, ipseautem A ipsum B non mediatur ; dico neque alium aliquem ullum mensurum esse. |
Γ est à E comme H et à Θ ; donc Hest à Θ comme x est à Λ. De plus,
puisque E multipliant Δ fait, et que E multipliant Z fait B, Δ est à Z comme
Λ est à B. Mais Δ est à Z comme o cest à K ; donc Θ est à Κ comme Λ est à
B. Mais on a démontré que H est à comme œo est à r ; donc, par égalité, H
est à K comme Α est à B (14- 7) ; mais H a avec Κ une raison composée des
côtés ; donc Α a avec B une raison composée des côtés. Ce qu’il fallait dé-
montrer.
Si tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, et si le premier ne mesure pas le second, aucun autre n’en mesure un autre.
Soient Α, B, ç, Δ, E tant de nombres successivement proportionnels qu’on voudra, et que Α ne mesure pas B ; je dis qu’aucun autre n’en mesurera un autre.
