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Καὶ ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχοντων αὕτοις, πρῶτοι σπρος άλ- λήλους εἰσί. Καὶ ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Β ; Ζ ἐαυτὸν μὲνί πολλαπλασιάσας ἐκάτερον τῶν Η ; Κ πε- ποίηκεν, ἐκάτερον δὲ τῶν Η, Κ πολλαπλασιασας ἐκάτερον τῶν" ΔΛ, Ὦ πεποιηκπκεν" ται οι Ηβ. Κ ἄρὰ καὶ οἱ Λ, Ξὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίὅ, Καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β, ιΓ, ο Δ ἐλαχιστοῖ ἐἰσι τῶν τον αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Λ, Μ, Ν, Ξʼ ἐλάχιστοι. ἐν τῷ αὐτῷ λογῷ οντες τοῖς Α, Β, Γ, Δ, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α, Β, Γ, Δ τῷ πλήθει τῶνΔΛ, Μ, Ν, Ξ. ἐκαστος ἄρα τῶν Α, Β, Γ, Δ ἐκάστῳ τῶ Λ, Μ, Ν, Ξ ἴσας Καὶ εἴσιν οἱ Λ, Ξὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους7" καὶ οἱ Α, Δ ἀρὰ πρῶὼωτοι πρὸς ἄλληλους εἰσὶν. ΟΖσερ 4δει δεῖξαι. |
Et quoniam E, Z minimi sunt ipsorum eam- dem rationem habentium cum ipsis, primi inter se sunt. Et quoniam uterque ipsorum E, Z se ipsum quidem multiplicans uttumque ipsorum H, Kfecit, uttumque vero ipsorum H, Kmulti- plicans utrumque ipsorum 4, Z fecit ; et ipsi H, K igitur et ipsi Δ, E primi inter se sunt. Et quo- niam A, B, , Aminimi sunt ipsorum eamdem rationem habentium cum ipsis, suut autem et Δ, M, N, Eminimi in eádem ratione existentes cum ipsis A, B, Γ, Δ, et est æqualis multitudo ipso- ram A, B, Γ, Δ, multitudini ipsorum Λ, M, N, Ξ ; unusquisque igitur ipsorum A, B, Γ, A unicui- que ipsorum Δ, M, N, Z ÀBqualis est ; æqualis igitur est ipse quidem A ipsi Δ, ipse vero Δa ipsi E. Et sunt Δ, E primi inter se ; et Δ, Δ igitur primi inter se sunt. Quod oportebat ostendere. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ δʼ. | PROPOSITIO IV. |
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Λόγων δοθέντων ὁποσωνοῦν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθ- μοὶς, ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον1 ἐλαχίστους ἐν τοῖς δοθεῖσι λόγοις. |
Rationibus datis quoteunque in minimis nu- meris, numeros invenire deinceps proportio- nales minimos in datis rationibus. |
Puisque les nombres E, Z sont les plus petits de ceux qui ont la même raison
avec eux, ils sont premiers entreux (24- 7). Et puisque les nombres E, Ζ se mul-
tipliant eux-mêmes ont fait H, K, et que ces mêmes nombres multipliant H, Kont
fait, Ξ, lesnombres H, K, et lesnombres Λ, Ξὶ sont premiers entr’eux (20. 7). Et
puisque les nombres Α, B, Γ, Δ sont les plus petits de ceux qui ont la même
raison avec eux, que les nombres 4, M, N, Z sont les plus petits qui ont la même
raison que À, B, T, Δ, et que la quantité des nombres Α, B, Γ, à est égale à la
quantité des nombres û, M, N, Z ; chacun des nombres Α, B, T, Δ est égal à
chacun des nombres 1, M, N, Z ; donc Α est égal à Δ, et Δ à. Mais les nombres
Δ, À sont premiers entr’eux ; donc les nombres ñ, sont premiers entr’eux. Ce
qu’il fallait démontrer.
Tant de raisons qu’on voudra étant données, dans leurs plus petits nombres, trouver les plus petits nombres successivement proportionnels dans les raisons données.
