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καὶ ἐλάχιστοι. Ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, οἱ διὲ ἐλαχιστοι τῶν τὸν αὐυὐτὸν λογὸν ἐχοντῶν αὐτοις9. πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίνο οἱ Α, Β ἄρα πρῶτοι προς ἀλλήλους εἰσί. Καὶ ἐκάτερος μέὲν τῶν Α, Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ἐκάτερον τῶν Γ, Ε πεποίηκεν, ἐκάτερον δὲ τῶν Γ, Ε πολλαπσλα- σιάσας ἐκάτερον τῶν Ζ, Κ πεσοίηκεν ο Γ, ΒΕ ἄρα καὶ οἱ Ζ, Κ πρῶτοι πρὸς ἀλλήῆλους εἰσίν. Εὰν δὲ ὦσιν ἑποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λογον ἐχὀοἝνυτῶν αὐτοῖς. οἱ Γ, Δ, Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ, Ηῃ, Θνο Κ ἐλά- χιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
A, B minimi sunt ipsorum eamdem rationem habentium cum ipsis, ipsi autem minimi ipso- rum eamdem rationem habentium cum ipsis primi inter se sunt ; ipsi Δ, B igitur primi iuter se sunt. Et uterque quidem ipsorum A, B se ipsum multiplicans uttrumque ipsorum Γ, E fecit ; utrumque vero ipsorum PΓ, E multliplicans, utrumque ipsorumZ, K fecit ; ipsi Γ, E igitur et Z, Kprimi inter se sunt. Sjauttem sint quotcunque numeri deinceps proportionales, extremi vero eorum primi inter se sint, minimi sunt eorum eamdem rationem habentium cum ipsis ; ipsi Γ, Δ, E igitur et ipsi Z, H, O, K minimi sunt eorum eamdem rationem habentium cum ipsis A, B. Quod oportebat ostendere. |
| ΠΟΡΙΣΜΑ. | COROLLARIUM. |
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Εκ δὴ τούτου. φανερὸν, ὅτι ἐάν10 τρεῖς ἀριθμοὶ ἐξὴς ἀνάλογὸν ἐλάχιστοι ὦσε τῶν τὸν αυτον λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, οἱ ἄκροι αὐτῶν τετράώ. γονοί εἰσιν. ἐὰν δὲ τέσσαρες, κύζει. |
Ex hoc igitur evidens est, si tres numeri deinceps proportionales minimi sunt ipsorum eamdem rationem habentium cum ipsis, extremos eorum quadratos esse ; si autem quatuor, cubos. |
nombres de ceux qui ont la même raison avec eux, et que les plus petits nombres
de ceux qui ont la même raison avec eux sont premiers entr’eux (23. 7) , les
nombres 4, B sont premiers entr’eux. Mais les nombres Α, B, se multipliant eux-
mêmes, ont fait Γ, E, et les nombres 4, B multipliant ç, E ont fait z, K ; donc
les nombres Γ, E et Z, K sont premiers entr’eux (29. 7). Mais si tant de nombres
qu’on voudra sont successivement proportionnels, et si leurs extrêmes sont
premiers entr’eux, ces nombres sont lies plus petits de ceux qui ont la même
raison avec eux (1. 8) ; donc les nombres T, ñ, E et les nombres z, H, Θ, K sont
les plus petits de ceux qui ont la même raison avec Α, B. Ce qu ? il fallait
démontrer.
De là il est évident que si trois nombres successivement proportionnels sont les plus petits de ceux qui ont la mème raison avec eux, leurs extrêmes sont des quarrés ; que si l’on a quatre nombres, les extrêmes sont des cubes.
