96 LE NEUVIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE.
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Επεὶ γὰρ ὁ ΑΒ περισσός ἐστιν, ἀφηρήσθω μονὰς ἡ ΒΔἧή λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΔ ἄρτιός ἐστι. Διὰ |
Quoniam enim AB impar est, auferatur unitas BΔ ; reliquus igitur AΔ par est. Per eadem |
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τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΓΔ ἄρτιός ἐστινι ὥστε καὶ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἀρτιός ἐστιν. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
utique et ΓΔ par est ; quare ct reliquus ΓA par est. Quod oportebat ostendere. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κζ'. | PROPOSITIO XXVII. |
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Εὰν ἀπὸ περισσοῦ ἀριϑμοῦ ἄρτιος ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς περισσὸς έσται. |
Si ab impari numero par aufertur, reliquus impar erit. |
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Απὸ γὰρ περισσοθῖ τοῦ ΑΒ ἄρτιος ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ λέγω ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ περισσὸς ἐστιν. |
Ab impari enim ipso AB par auferatur BΓ ; dico reliquum ΓA imparem esse. |
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Αφῃηρήσθω γὰρ2 μονὰς ἡ ΑΔ· ὁ ΔΒ ἄρα ἄρτιός ἐστιν. Εστι δὲ καὶ ὁ ΒΓ ἄρτιος. καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΓΔ ἄρτιός ἐστιν. Εστι δὲ καὶ μονὰς ἡ ΔΑ3" περισσός ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΑ. Οπερ ἴδει δεῖξαι. |
Auferatur enim unitas AΔ ; ergo ΔB par est. Est autem et BΓ par ; et reliquus igitur ΓA par est. Est autem et unitas ΔΑ͂ ; impar igitur est ΓA. Quod oportebat ostendere. |
Puisque AB est impair, retranchons-en l’unité BΔ, le reste ΑΔ sera pair. Par la
même raison ΓΔ sera pair ; donc le reste ΓA sera pair (24. 9). Ce qu’il fallait
démontrer.
Si d’un nombre impair on retranche un nombre pair, le reste sera impair.
Que de AB impair soit retranché BΓ pair ; je dis que le reste ΓΑ est impair.
Car soit retranchée l’unité ΑΔ ; le nombre ΔΒ sera pair. Mais ΒΓ est pair ; donc le reste ΓΔ est pair (24. 9). Mais ΔΑ est une unité ; donc ΓΑ est impair (déf. 7. 7). Ce qu’il fallait démontrer.
