94 LE NEUVIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE.
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Αφηρήσθω ἀπὸ τοῦ ΓΔ μονὰς ἡ ΔΕἝ λοιπὸς ἄρα ὁ ΓΕ ἄρτιός ἐστιν. ΒΕστι δὲ καὶ ὁ ΓΑ ἄρτιος" |
Auferatur ab ipso ΓΔ unitas AE ; reliquus igitur ΓE par est. Est autem et ΓA par ; et totus |
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καὶ ὅλας ἄρω ὁ ΑΒ ἄρτιός ἐστι. Καὶ ἔστιν ἡ μονὰς ἡ ΔΕἝ περισσὸς ἄρα ἐσξὶν ὁ ΑΔ. Οπερ ἔδει δεῖζαι. . |
igitur AE par est. Atque est unitas AE ; impar igitur est AΔ. Quod oportebat ostendere. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κδ'. | PROPOSITIO XXIV. |
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Εὰν ἀπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ ἄρτιος ἀφαιρεθῇ, ΟἱὐὈὨ λοιπὸος ἄρτιος ἐσται. |
Si a pari numero par aufertur, reliquus par erit. |
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Απὸ γὰρ ἀρτίου τοῦ ΑΒ ἀφῃρήσθω ἄρτιος32Ζ δ ΒΓ· λέγω ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν, |
A pari enim ipso AB auferatur par BΓ ; dico reliquum ΓA parerm esse. |
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Ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒ ἀρτιός ἐστιν, ἔχει μέρος ἥμισυι Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΒΓ ἔχει μέρος ἡμισυῺῪ ὥστε καὶ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἐχει μέρος ἡμισυ"ς ἄρτιος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΓ3, Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
Quoniam enim AB par est, habet partem dimidiam. Propter eadem utique et BΓ habet partem dimidiam ; quare et reliquus ΓA habet partem dimidiam ; par igitur est AΓ. Quod oportebat ostendere. |
Retranchons de ΓΔ l’unité ΔE ; le reste ΓΕ sera un nombre pair (déf. 7. 7). Mais
ΓΑ est un nombre pair (22. 9) ; donc la somme AE est un nombre pair (21. 9).
Mais ΔE est une unité ; donc AΔ est un nombre impair. Ce qu’il fallait démontrer.
Si d’un nombre pair on retranche un nombre pair, le reste sera pair.
Que du nombre pair AB soit retranché le nombre pair BΓ ; je dis que le reste ΓΑ est pair.
Car puisque AB est un nombre pair, ce nombre a une moitié. Par la même raison, ΒΓ a aussi une moitié ; donc le reste ΓΑ a aussi une moitié ; donc AΓ est un nombre pair. Ce quʼil fallait démontrer.
