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Εστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ· λέγω ότι ο μὲν τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Β τετράγωνός ἐστι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες, ὁ δὲ τε- ταρτός ὁΓ κύος καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάν-ν τες, ὁ δὲ ἐόδομος ὁ Ζ κύῶος ἅμα καὶ τετράγωνος καὶ οἱ πίντε διαλείποντες παντες5. |
Sint ab unitate quotcunque numeri deinceps proportionales A, B, Γ, Δ, E, Z ; dico quidem tertium ab unitate, , ipsum B, quadratum esse, et unum intermittentes omnes ; quartum vero Γ cubum, et duos intermittentes omnes ; septi- mum autem Z cubum simul et quadratum, et quinque intermittentes omnes. |
| 1. | A, 3. | B, 9. | Γ, 27. | Δ, 81. | E, 243 | Z, 729. |
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Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α οὐτως ὁ Α πρὸος τὸν Βς ἰσάκις ἄρα ἡ μονας τοὸν Α ἀριθ- μὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Β. Η δὲ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸνθ μετρεῖ{ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας" καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεί τ΄ατα τας ἐν τῷ Α μονάδας— ὁ Α ἄρα ἐαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεΛ τετράγωνος ἄρα ἐστίν Ο Β. Καιίι ἐπεὶ οἱ Β, Γ, Δ ἐξῆς ἀνάλογόν εἰσιν. ὁ δὲ Β τετράγωνός ἐστι· καὶ ὁ Δ ἄρα τετράγωνὸς ἐστι. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ζ2 τετραγωνός ἐστιν. Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ οἱ ἐνα διαλείποντες πάντες7 τετράγωνοί εἰσι. Λέγω δὴ ὅτι καὶ ὁ τέταρτος ἀπὸ τῆς μονάδὸς ὁ Γ κύος ἐστὶ, καὶ |
Quoniam enim est ut unitas ad A ita A ad B ; æqualiter igitur unitas ipsum A numerum me- titur et A ipsum B. Sed unitas ipsum A nu- merum metitur per unitates qua in ipso ; atque A igitur ipsum B metitur per unitates quæ in Α ; ergo A se ipsum multiplicans ipsum B fecit ; quadratus igitur est B. Et quoniam B, Γ, Δ deinceps proportionales sunt, sed B qua- dratus est ; et Δ igitur quadratus est. Propter eadem utique et Z quadratus est. Similiter etiam demonstrabimus et unum omnes intermittentes quadratos esse. Dico etiam et quartum ab uni- tate, ipsum Γ, cubum esse, et duos intermit- |
Soient, à partir de l’unité, tant de nombres que l’on voudra A, Β, Γ, Δ, E, Z
successivement proportionnels ; je dis que le troisième nombre B, à partir de
l’unité, est un quarré, ainsi que tous ceux qui en laissent un ; que le quatrième
Γ est un cube, ainsi que tous ceux qui en laissent deux ; que le septième Ζ est
un cube et un quarré tout à la fois, ainsi que tous ceux qui en laissent cinq.
Car puisque l’unité est à A comme A est à B, l’unité mesure A autant de fois que A mesure B (déf. 20. 7). Mais l’unité mesure le nombre A par les unités qui sont en lui ; donc A mesure B par les unités qui sont en A ; le nombre A se multipliant lui-même fera donc le nombre B ; le nombre B est donc un quarré. Εt puisque B, Γ, Δ sont successivement proportionnels, et que B est un quarré, Δ sera aussi un quarré (22. 8). Par la même raison Z est un quarré. Nous démontrerons de la même manière que tous ceux qui en laissent un sont des quarrés. Je dis aussi que le quatrième, Γ, à partir de l’unité, est un cube, et
