62 LE NEUVIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE.
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ὁσάκις ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ τοσαῦται μονάδὲες ἔσ- τωσαν ἐν τῷ Ε. Επεὶ οὖν ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Β μονάδας1· ὁ ἄρα τὸὺν Δ πολλα- πλασιάσας τὸν Α πεποίηκε. Καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν |
quoties Δ ipsum A metitur tot unitates sint in E. Quoniam igitur Δ ipsum A metitur per unitates qui in E ; ergo E ipsum Δ multiplicans ipsum A fecit. Et quoniam A ipsum B multiplicans |
| A, 6. | B, 7. | Γ, 42. | |||
| Δ, 3. | E, 2. |
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Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ δὲ Α ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Δ, ΕὉὲὁ ἄρα ἐκ τῶν Δ, Ε τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν2ΖΌὈ ὁ Γ ἄρα στερεός ἐστι, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Δ, Ε, Β. Οπερ ἔέϑει δεῖξαι. |
ipsum Γ fecit, estautem A ex ipsis Δ, E ; ergo ipse ex Δ, Eipsum B multiplicans ipsum Γ fecit ; ergo Γ solidus est, latera autem ipsius sunt Δ, E, B. Quod oportebat ostendere. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ή. | PROPOSITIO VIII. |
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Εάν ἀπὸ μονάδὸος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνά- λογον ὦσιν, ὁ μὲν τρίτος ἀπὸ τῆς μοναδὲς τε- τράγωνος ἐσται1 καὶ οἱ ἐνα διαλείποντες παντες2, Ο δὲ τέταρτος κύϐρς καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες3, ὁ δὲ ἔϐδομος κύΠος ἅμα καὶ τετρά- γωνος καὶ οἱ πέντε διαλείποντες πάντεςί. |
Si ab unitate quotcunque numeri deinceps proportionales sunt, tertius quidem ab unitate quadratus erit, et unum intermittentes omnes ; sed quartus cubus, et duos intermittentes om- nes ; septimus vero cubus simul et quadratus, et quinque intermittentes omnes. |
(déf. 13. 7) Qu’il soit mesuré par Δ ; et qu’il y ait en E autant d’unités que Δ mesure de fois A. Puisque Δ mesure A par les unités qui sont en E, le nombre E
multipliant Δ fera A. Et puisque A multipliant B fait Γ, et que A est le produit
de Δ par E, le produit de Δ par E multipliant B fait Γ (10. 7) ; le nombre Γ est
donc un nombre solide (déf. 17. 7), dont les côtés sont Δ, E, B. Ce qu’il fallait
démontrer.
Si, à partir de l’unité, tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, le troisième, à partir de l’unité, sera un quarré, et tous ceux qui en laissent un ; le quatrième un cube, et tous ceux qui en laissent deux ; le septième un cube et un quarré tout à la fois, et tous ceux qui en laissent cinq.
