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Διήχθω γὰρ ἡ ΒΔ ἐπὶ τὸ Ε. |
Producatur enim BA ad E. |
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Καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγὤνου αἱ δύο πλευραἷ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι, τοῦ ΑΒΕ ἄρα τριγώνου αἱ δύο ʼπλευροιἶ 5 αἱ ΑΒ. ΑΕ τῆς ΒῈ μεἵζονἕς εἰσι" κοινὴ προσκείσϑω ἡ ΒΓʼ αἷ ἄρα ΒΑ. ΑΙ τῶν ΒΕ. ἘΓ μείζονες εἶσι. Ἰπάλιν. ἐπεὶ τοῦ ΤῈΔ τρεγῶνου αἱ δύο ττλευροιἷ αἱ ΤῈ. ἘΔ τῆς ΤΔ μείζονές εἶσι. κοινὴ προσκείσθω ἡ ΔΒ" αἱ ΤῈ. ΕΒ ἄρα τῶν ΤΔ. ΔΒ μείζονές εἰσιν. Αλλὰ τῶν ΒΕ. ἘΓ μείζονες ἐδείχθησαν αʼ ΒΑ. ΑΤ’ πολλῷ ο’ι’ροι αἱ ΒΑ. ΑΓ τῶν ΒΔ9 ΔΙ μείζονές εἶσι. - |
Et quoniam omnis trianguli duo latera reliquo majora sunt, ABE trianguli duo latera AB, AE ipso BE majora sunt. Communis addatur ET ; ergo BA, AFP ipsis BE, ET majores sunt, Rursus, quoniam TʼEA trianguli duo latera TE, EA ipso TʼÀ majora sunt ; communis addatur AB ; ergo ΓE, EB ipsis TA, AB majores. sunt. Sed ipsis BE, ET majores ostense sunt BA, AT ; multo igitur BA, AT ipsis BA, ATʼ majores sunt. |
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Πάλιν. ἐπεὶ παντὸς τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον μείζων ἐστί" τοῦυ ΓΔῈ ἐι’Ροι τρηὧνου ἡ ἐκτὺς γωνἵα- ἢ ὑπὸ ΒΔΓ μεἷζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΤΕΔ. Διὰ ταῦτα τοίνυν 3 καὶ τοῦ ΑΒῈ ’τριγὧνου ἡ ἐκτὸς γωνία ἢ ὑποὸ ΓΕῈΒ μει’ζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΙ. Αλλὰ τῆς ὑπὸ ΤῈΒ μείζων ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΒΔΙ" πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΓ μεί- ζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ. Ἐὰν ἀρα. καὶ τὰ ἑξῆς. |
Rursus, quoniam omnis trianguli exterior angulus interiore et opposito major est, DlʼAE trianguli exterior angulus BAT major est ipso LlʼEA. Propter eadem utique et ABE trianguli exterior angulus TEB major est ipso BAT. Sed ipso lʼEB major ostensus est BAT ; multo igitur BΔΓ major est ipso BAΓ. Si igitur, etc. |
Prolongeons BA vers E.
Puisque deux côtés d’un. triangle quelconque sont plus grands que le côté restant (20) , les deux côtés AB, AE du triangle ABE sont plus grands que le côté BE ; donc si nous ajoutons la droite commune r, les droites BA, Ar seront plus grandes que BE, Er. De plus, puisque les deux côtés TE, EA du triangle TEA sont plus grands que TA, si nous ajoutons la droite commune 48, les droites TE, EB seront plus grandes que TA, AB ; mais on a démontré que les droites BA, AT sont plus grandes que BE, Er ; donc les droites BA, AT sont beaucoup plus grandes que BA, AT.
De plus, puisqu’un angle extérieur d’un triangle quelconque est plus grand quʼun des angles intérieurs et opposés (16) , l’angle BAT, qui est un angle exté- rieur du triangle AET, est plus grand que l’angle TEA. Par la même raison l’angle TEB, qui est un angle extérieur du triangle ABE, est plus grand que l’angle Bar ; mais il a été démontré que l’angle Bar est plus grand que F’angle TEB ; donc lʼangie Bar est beaucoup plus grand que l’angle BAT. Donc, etc.
