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Ἐπεί γὰρ ἔση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΘΕ ; κοινὴ δὲ ἢ ΘΓ, δῦύο δὴ αἱ ΘΗ ΘΓ δυσὶ ταῖς ἘΘ, ΘΓ ἔσαι εἰσὶν. ἓκατἑρω ἐκαάτερᾳ 5 καὶ βασις ἢ ΤΗ βασει τῇ ΤῈ ἐστὶν ἴση" γωνία ἀρὼ ἢ ὑπὸ ΤΘῊΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ἘΘΤ ἐστὶν ἰση. καὶ εἶσιν εφεξυ ς. Ὅτὰν δὲ εὐθεῖα ἐπὶ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ͵εφεξυς γωνίας ἰσας ἀλλήλαις ποιῥῇρν ρθή ἐκατερῶ τῶν ἰσὼν γωνεῶν ἐστιν καὶ ἡ ἐφεστηκυΐα εὐθεῖα καθετος καλεται εῷ ἣν ἐφεστήκεν. |
Quoniam enim zqualis est HO ipsi OE, communis autem OTCTʼ, du » utique OH, er duabus EO, OTʼ : quales sunt, utraque utrique, et basis TH basi FE est equalis ; angulus igitur LlʼOH angulo EGTʼ est equalis, et sunt deinceps. Quando autem recta in rectam insistens, deinceps angulos quales inter se facit, rectus uterque aequalium angulorum est ; et insistens recta perpendicularis appellatur in quam insistit. |
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Επʼ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν ἄπειρον τῆν ΑΒ. απὸ τοῦ δοθεντὸος σημείου τοῦ Γ. ὃ μή ἐστιν ἐπʼ αὑτῆς, κάθετος ἧκται ἢ ΓΘ. Οπερ ἐδὲ, ποιῆσαι- |
Super datam igitur rectam infinitam AB a dato puncto Iʼ quod non est in eà, perpendicularis ducta est ʼO. Quod oportebat facere. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιγ. | PROPOSITIO XIII. |
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Ἐὰν᾽ εὐθεῖα ἐπ᾿ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῆ ἥτοι δύο ὗρθὢς, ʼἓ δυσὶν ὖρθοιΐς ἴσας ποιήσει. |
Si recta in rectam insistens angulos faciat, vel duos rectos, vel duobus rectis zquales faciet. |
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Εὐθεῖα γάρ τις ἤἡ ΑΒ ἐπ εὐθεῖαν τὴν ΤΔ σταθεῖσα γωνίας ποιείτω. τὰς ὑπὸ ΤΒΑ. ΑΒΔ᾿ λέγω ὅτ, αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ γωνίαι. , ἥτοι " δύο ὀρθαί εἰσιν. ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι. |
Recta enim quedam AB in rectam TA in- sistens angulos faciat ʼBA, ABA ; dico TBA, ABA angulos, vel duos rectos esse, vel duobus rectis æquales. |
Car puisque la droite HΘ est égale à la droite @E, et que la droite er est
commune, les deux droites ΘΓ, ΘH sont égales aux deux droites EΘ, ΘΓ, chacune à chacune ; mais la base ΓH est égale à la base ΓE (déf. 15) ; donc lʼangle ΓΘH est égal à l’angle EΘΓ (8) ; mais ces deux angles sont de suite, et lorsquʼune droite placée sur une droite fait les angles de suite égaux entre eux, chacun des angles égaux est droit, et la droite placée au dessus est dite perpendiculaire à celle sur laquelle elle est placée.
On a donc mené ΓΘ perpendiculaire à la droite indéfinie AB, du point donné Γ placé hors de cette droite. Ce qu’il fallait faire.
Si une droite placée sur une droite fait des angles, elle fera ou deux angles droits, ou deux angles égaux à deux droits.
Qu’une droite AB placée sur une droite ra fasse les angles TBA, ABA ; je dis que les angles TBA, ABA sont ou deux droits, ou égaux à deux droits.
