444 LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE,
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ο Α. Β ἀρα τὸν ΓΤ μετροῦσι. Λέγῶ δὴ ὁτι καὶ ἐλάχιστον, Ἐΐγὰρ μὴ. μετρήσουσι ! τινα ἀριθμὸν 0. Α. Β, ἐλασσονα οντὰ τοῦ Τ. Μετρωτωσαν Ττὸν Δ, Καὶ ὁσάκις μὲν Ο Α τὸν Δ μέτρει, τοσαυται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Η- οσάκις δὲ ο Β τὸν Δ |
tur. Dico utique et minimum. $i enim hon, metientur aliqucm numerum ipsi A, B, nunorem existentem ipso Iʼ. Metiantur ipsum A. Ft quo- ties A quidem ipsum A mettur, tot Unitates sintin B, quoties vero B ipsum A metitur, tot |
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μέτρεῖ, τοσαῦται μοναάδὲς ἔστωσαν ἐν τῷ Θ᾽ ὁ ΜενΝΑ ἄρὰ τὸν Η ʼπολλοιʼπλασʼιοἱσας τον ἃ σεσοιη- κεν. 0 δὲ Β τὸν Θ πολλαπλασιασας τὸν Δ πε- σποίήκεν" ʼσὸς ἄἀρὼ ἐστίν οεἐκ τῶν Α, Η τῷ εκ τῶν Β. Θʼ ἐστιν ἀρῶ ὡς ὁ αὶ πρὸς Ττὸν Β ουτῶς ὁ Θ πρὸς τὸν Ἡ, ῶς δῈ 6Α πρὸς τὸν Β οὕτως 0 2 πρὺς τσὸν Ἐ αλλως ο πρὸς τὸν Β ουτῶς ὁ Θ πρὸς τὸν Ἠ1" καὶ ὡς ἀρὰ 0 Ζ σρος τὸν Ἑ ουτῶς ο Θ πρὸς τὸν Ἡ. Οἱ δὲ 2, Ἑ ἐλάχιστοι. οἱ δὲ ἐλά- χίστοι μετρουσι τοὺυς τὸν αὐυτον λογὸν ἐχοντας ἰσώκις. τ μειζων τον μειζονα καὶ ο ἐλαάσσων Τὸν ἐλάσσονα" ὃ Ἑ ἄρα τὸν Η μετρεῖ. Καὶ ἐπεῖ ὸ α τοὺυς Ἑ. Η πολλαπλασιᾶσας τους Το ἃ σεποιήκεν" ἔστιυ οἴροι ὧς 6 Ε ’πρὃς τὸν οὗτως Τ ʼπρὄς τὸν Δ. |
unitates sint in O ; ipse quidem 4A igitur ip- sum H multiplicans ipsum A fccit, lpse vero B ipsum 9 muluüplicans ipsum A fecit ; equa- lis est ipse ex A, H ipsi ex B, GO ; est igitur ut A ad B ita O ad H. Ut autem A ad B ita Z ad E ; sed ut A ad B ita 9 ad H ; et ut igitur Z ad E ita O ad H. Ipsi autem Z, E minimi, ipsi vero minimi meliuntur zqualiter ipsos eam- dem rationem habentes, et major majorem, et minor minorem ; ipse E igitur ipsum H mehtur. Et quoniam A ipsos E, H multiplican : ipsos Tʼ, A fecit ; est igitur ut E ad H ita T ad A. Ipse autem E ipsum H metitur ; et T |
plus petit. Car s’il ne l’est pas, les nombres 4, B mesureront quelque nombre plus petit que r. Qu’ils mesurent À, et qu’il y ait dans H autant d’unités, que 4 mesure de fois A, et dans © autant d’unités que B mesure de fois A. Le nombre A multipliant H fera A, et B multipliant @ fera 4 ; donc le produit de 4 par est égal au produit de B par @ ; donc 4 est à B comme © est à H (19. 7). Mais A est à B comme Z est à E ; et A est à B comme © est à H ; donc Z est à E comme ® est à H. Mais z, E sont les plus petits nombres, et les plus petits nombres mesurent également ceux qui ont la même raison, le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus petit (21. 7) ; donc E mesure H. Mais 4 multipliant E, H fait T, A ; donc E est à H comme r est à A (17. 7). Mais E mesure H ;
