LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE. 441
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μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μονάδας. Καὶ ἐπεῖὶ ο Θ τὸν α μετρεῖ κατᾶ τὰς ἐν τῷ Μ μοναδὰς" καὶ ὁ Μ ἀρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Θ μοναδὰς. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ο Μ « πάτερον τῶν Β. Τ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν εκωτέρῳ τῶν Κὶ μοναδας" ὁ Μάρα τοὺς Α. Β. Τ μετρεῖ. Καὶ ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μοναδαὰς" ὁ Θ ἄρα τὸῦ Μ πολλαπλασιίᾶασας τὸν Α πεποίηκε. Δία τὰ αὐτὰ δὴ καὶ Ο Ἑ τὸν Δ πολλαπλασιασας τὸν Α πεποΙΉκεν" Ισὸς ἀρὰ ε61 0 εἰς τῶν Ἐ. ἃ Τῷ εκ τῶν Θ. Μʼεστιν ἄρα ὡς ὁ Ἐ πρὸς τον Θ ουτῶς ὑ Μ πρὸς τὸν Δ. Μείζων δὲ ὁ Ἑ τοῦ Θʼ μείζων ἀρα κα ! ΟΜ του Δ. καὶ μετρεὶ τοὺυς Α, Β. Τ. ὁπερ ἐστὶν ἀδυνατον. , ὑπόκειται γάρ ο Δ τῶν Α. Β. Γ τὸ μέγιστον κοιγὸν μετρον" οὐκ ἀρὰ ἔσονται τινες τῶν Ἑ. 2. Ἡ ἐλασσονες αριθμοι ἐν τῶω αὐυτῷῳ λογῷ γτες τοῖὶς Α9. Β : Τ 0. Ε. Ζ : Η αρὰ ἐλάχιστοί ΕΟ τῶν τὸν αυτὸν λογον ἐχόντων τοῖς Α. Β, Γ. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
utrumque eorum B, Tʼ metitur per unitates qua in M, Ét quoniam 9 ipsum A metitur per uni- tates quie 1n M ; et M igitur ipsum A metitur per unitates qux in O. Propter eadem utique et M utrumque eorum B, Iʼ metitur per unitates qua m ipsis K, 4 ; ipse M igitur ipsos A, B, T meütur ; et quoniam O ipsum A metitur per unitates qua in M ; ipse O igitur ipsum M mul- tiplicans ipsum A fecit. Propter eadem utique ct E 10sum A multüplicans ipsum A fecit ; equalis igitur est tpse ex E, A ipsi ex O, M ; est igitur ut X ad OG ita M ad A. Major autem E ipso € ; major igitur et M. 1ipso A, et metitur ipsos A, B, T, quod est impossibile ; ponitur enim 4 eorum A, B, T maxima communis mensura ; non igitur erunt aliqui ipsis E, Z, H minores numeri in eádem ratione iu quá A, B, Iʼ ; ipsi E, Z, H igitur minimi sunt eorum eamdem rationem ha- bentium cum psis A, B, Iʼ. Quod oportebat ostendere. |
M autant dʼunités que Θ mesure de fois A ; chacun des nombres K, A mesurera chacun des nombres B, T par les unités qui sont en M. Et puisque Θ mesure â par les unités qui sont en M, le nombre M mesurera A par les unités qui sont En Θ. Par la même raison, M mesurera chacun des nombres B, r par les unités qui sont dans chacun des nombres K, A ; donc M mesure A, B, r. Mais Θ mesure A par les unités qui sont en M ; donc Θ multipliant M fait A. Par la même raison, E multipliant 4 fait A ; donc le produit de E par 4 est égal au produit de e par M ; donc E est à Θ comme M est à A (19. 7). Mais E est plus grand que Θ ; donc M est plus grand que À, et M mesure A, B, T, Ce qui est impossible ; car On a supposé que A est la plus grande commune mesure des nombres 4A, B, T ; donc il n’y a pas de nombres plus petits que E, Z, H qui ayent la même raison que A, B, r ; donc E, Z, H sont les plus petits nombres qui ayent la même raison avec A, B, r. Ce qu’il fallait démontrer.
