438 LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE.
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Ἐπεὶ γὰρ συνθετὸς ἐστιν ὁ Α, μετρήσει τις αὐτὸν ἀριῦμος. Μετρείτω. καὶ ἐστὼω ο Β. Καὶ εἰ μὲν πρῶτος ἐστίν ο Β. γεέγονος ὧν εἰ τὸ ἐπι- ’ταχθεν. εἱ δὲ συνθετος. . μβέτρήσει τις αὐὑτον αρ ; θμος. Μετρεετω, καὶ ἐστῶ ο Τ. Κα͵αὶ Π 0Τ τὸν Β μετρεῖ. ὁ δὲ Β τὸν Α μετρεῖ" καὶ 5 Τʼ ἀρὰ τὸν Α μετρι ! . Καὶ εἰ μιὲν πρῶτος εατιν 0 Τ΄ |
Quoniam enim compositus est À, metietu, aliquis ipsum numerus. Metiatur » CL sIEB, E, 8 quidem primus est B, factum erit propositum, 51 vero compositus, metietur aliquis eum nume. rus. Metiatur, et sit P. Et quoniam T Ipsum B melitur, ipse autem B ipsum A metitur ; et p igilur ipsum À metitur. Et si quidem prins |
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γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχῦεν" εἰ δὲ συνθετος μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμὸος. Τοιαυτῆὴς δὴ γινομενῆς ἐπισμέψεως ληφθήσιταί τις πρῶτος ἀριθμὸς. ὃς μιτρησιι τὸν πρὸ εαὐτοῦ ὃς καὶ τὸν Α μετρήσει. Εἰ γὰρ οὐ ληφθήσεται. μετρή- σουσι τὸν Α ἀριθμὸν ἀπειροι ἀρθμο ! . ὧν ὁ ἐτερος τοῦ ετέρου ἐλάσσων ἐστὶν. ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον ἐν ἀριθμοῖς" ληφθήσεταί τις ἀρα πρῶ- τὸος αριθμοςΐ. ὃς μετρήσει τὸν πρὸ εαυτοῦ. ὃς καὶ τὸν Α μετρῆσει. ἅπας ἀρὰγ καὶ τὰ εξη ςς, |
est T, factum crit propositum ; si vero COmno- situs, melietur aliquis ipsum numerus, Tali utique factà consideratione, rciünquetuz aliquis primus numerus, qui mctietur cum q : ui Dr se ipso, et qui ipsum A metietur. Si eniin non relinquitur, metientur 1psum A numerum inf- niti numeri quorum altcr altero minor est, quod est impossible in numeris. Relinquetur aliquis igitur primus qui mctietur eum qui prz se ipso, et qui ipsum A metietur. Omnis igitur, etc. |
Puisque A est un nombre composé, quelque nombre le mesurera (déf. 13. 7) . Que quelque nombre le mesure, et que ce soit B. Si B est un nombre premier, on aura ce qui est proposé ; et si B est un nombre composé, quelque nombre le mesurera. Que quelque nombre le mesure, et que ce soit T. Puisque T mesure B, et que B mesure A, le nombre r mesurera A ; et si T est un nombre premier, on aura Ce qui est proposé. Sir est composé, quelque nombre le mesurera ; d’après une telle considération, il restera quelque nombre premier qui mesurera le nombre qui est avant lui, et le nombre 4. Car s’il ne restait pas de nombre premier, il y aurait une infinité de nombres qui mesureraient A, et qui seraient plus petits les uns que les autres, ce qui ne peut pas arriver dans les nombres (déf. 2. 7) . Il restera donc quelque nombre premier qui mesurera le précédent, et le nombre 4. Donc, etc.
