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γιας τὰς ὑπὸ ἘΒΤ΄. ΛΗΘ αἱ πλευραὶ ἀναλογόν εἰσιν"" Ισογῶν ! ον ἄρὰ ετ τὸ ἘΒΤ τριγῶνον τῷ ΛΗΘ τργῶνῷ, ὥστε καὶ ὁμοιον ἐτʼὶ τὸ ἘΒΤ τρι- γώνγον τῷ ΛΗΘ τριγωνῳΐ, Διά τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ἘΓΔ τρι’γωνον ομμοιὸν ἐστὶ τῷ ΛΘΚ τριγωγῳ" τὰ ἄρα ὅμοια πολύγωνα τὰ ΑΒΓΔΕ. ΖΗΘΚΛ εἷς τε ὑμοια τρίγωνα δηήρηται καὶ εἰς ἴδα τὸ πλῆθος. |
AHΘ latera proportionalia sunt ; equiangulum igilur est EBT triangulum ipsi AHO iriangulo, quare et simile adhuc EBT triangulum ips1 AHO triangulo. Propter eadem utique et ETA triangulum simile est ipsi AΘK triangulo ; ergo similia polygona ABTAE, ZHΘKA etin similia triangula dividuntur et in æqualia multitudine. |
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Λέγω οτί καὶ ομολογῶ τοῖς ὁλοῖς, τουτεῦστιν ὥστε ἀνάλογον εἶναι τῶ πρίγωνωα. καὶ ἡγουμεναὰ μὲν εἶναι τά ΑΒΕ. ἘΒΓ ; ΕΓΔ. ἐπόμενα δὲ αὐτῶν τὰῷ ΔΗῊΛ. ΛΗΘ. ΛΘΚ. καὶ οτέ τὸ ΑΒΙΔῈΕ πο- λύγωνον πρὸς τὸ ΖΉΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἐχέῖ Ἅστερ ομόλογος σπγλευρώ πρὸς τὴν ὁμμο- λογον πλευρᾶνγ τουτεέστιν ἡ ΑΒ σρὸς τὴν ΖΗ, |
Dico et homologa totis, hoc est, ut pro- portionalia sint triangula, et antecedentia qui- dem sint ABE, EBD, ETʼA, consequentia vero eorum ipsa ZHÀ, AHO, AOK, ct ABIʼAE po- lygonum ad ZHOKA polygonum duplam ratio- nem habere ejus quam homologum latus ad homoiogum latus, hoc est, AB ad ZH. |
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Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΖΘ. |
Jungantur enim ΑΓ, ΖΘ. |
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Καὶ ἐπεὶ δχαὰὶ τὴν ὁμοιότητα τῶν στολυγῶνγων ἰσή ἐστιν Ἡ ὑπὸ ΑΒΤ γώνγία τῇ υπὸ ΖΗΘ. καὶι εΤ ὡς Ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ ουτῶως ἢ ΖῊ σπρὸς ΗΘ’ ἰσογων ! όν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΗΘ τρι- γῶνῳ" Ισὴ ἀρα ἐστιν ἢ μὲν ὑπὸ ΒΑΙ γων ! αν τῇ ὑπὸ ΗZΘ, δὲ ὑπὸ ΒΤΑ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ. Καὶ ἐπεὶ ἰσή ἐστιν Ὁ ὑπὸ ΒΑΜ γωνία τῇ ὑπὸ ἨΖΝ, |
Et cucniam propter similitudinem polygo- norum wquahs est ABI angulus ipsi ZHO, et est ut AB ad BTʼ ita ZH ad HO ; : equiangulum est ABT triangulum 1ps1 ZHO triangulo ; e qualis igitur est quidem BAT angulus ipsi HZO, ipsc vero BIʼA ipsi HOZ. Et quoniam zqualis est BAM angulus ; ipsi HZN, ostensum autem est et ABM |
donc les côtés autour des angles égaux EBr, AHΘ sont proportionnels ; donc les triangles EBr, AHΘ sont équiangles (6. 6) ; donc le triangle EBr est sem- blable au triangle AHΘ. Le triangle ErA est semblable au triangle 4AΘK, par la même raison (4. 6) ; donc les polygones semblables ABTAE, ZHΘKA sont divisés en triangles semblables et égaux en nombre.
Je dis de plus que ces triangles sont homologues aux polygones, cʼest-à dire que ces triangles sont proportionnels, que les antécédents sont ABE, EBr, Era, et que leurs conséquents sont ZHA, AHΘ, AΘK ; et que de plus le po- lÿgone ABTAE a avec le polygone ZHΘKA une raison double de celle qu’un côté a avec un côté, c’est-à-dire de celle que AB a avec ZH.
Joignons AT, ZΘ.
Puisqu’à cause de la similitude des polygones, l’angle ABr est égal à lʼangle ZHΘ, et que AB est à BT comme £H est à HΘ, les triangles APr, ZHΘ sont équiangles (6. 6) ; donc l’angle BAT est égal à l’angle HZΘ, et lʼangle BrA égal a lʼangle HΘ7. Et puisque l’angle BAM est égal à l’angle HZN, et qu 1l a été
