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Εἰλίφθω γὰρ τῶν ΒΓ΄. ΕΖ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΒΗ ὠστε εἰγνῶ ! ὡς τὴν ΒΤ πρὸς τῆν ἘΖ οὕτως τήν ἘΖ πρὸς τὴν ΒΗ" και ἐπεζεύχϑω ἡ ἨΑ. |
Sumatur enim Ipsis BT, EZ terlia propor- üonalis BH, ita ut sit ut BT ad EZ ita EZ ad BH ; et jungatur HA. |
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Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἢ ΑΒ σρος τὴν ΒΓ ουτῶως ἡ ΔῈ πρὸς τὴν ἘΖ". εναλλαξ ἐρῶ ἐστὶν ὡς ἢ ΑΒ πρὸς τήν ΔῈ οὕτως ἢ ΒΓ πρὸς τὴν ΒΕΖ. Αλλ᾽ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ἘΖ οὑτως ἐστὶν ἡ ἘΖ πρὸς τὴν ΒΗ" καὶ ὡς ἀρᾶ ἢ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ οὕτως ἡ Ἐ7 ; λ “ 3 πρὸς τὴνʼ ΒΗ" τῶν ΑΒΗ͂. ΔΕΖ ἀρα τρεγώνων" ἀντι- πεπόνθασιν αἱ πλεύρα ! , αἱ περί τὰς ἰσὰς γωνίας. Ων δὲ5 μίαν μεφι ἐσὴν ἐχόντων γωνίαν τρεγώνων". ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ » αἱ περὶ τὰς ἰσας γῶνίας. ἰσὰ ἐστίν ἐκειγὼ" ἰσὸν ἀρῶ ἐστιί τὸ ΑΒΗ͂ τρι’γωνον τῷ ΔΕΖ τρίγωνῷ. Καὶ ἐπεῖ εστίὶν ὡς ἢ ΒΓ πρὸς τὴν ἘΖ οὕτως ἡ ἘΖ πρὸς τὴν ΒΗ ᾿ξῶὼν δὲ τρείς εὐθείαι ἀνάλογον ὡσιν. ἢ πρώτή πρὸς Τῆν τρίτπν διπλασίονα λογον ἐχεῖν λεγεται ἡπτερ πρὸς ΤῊν ὁἷευτερανʼ 1 ΒΓ ἄρα σπρὸς τὴν ΒΗ διπλα- σίονα λίγον ἔχει ἧπερ ἢ ΒΓ πρὸς τῆν ἘΖ. Ως δὲ ἢ ΒΓ πρὸς τὴν ΒΗ οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΗ τρίγωνον" παὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ |
Et quoniam est ut AB ad BTʼ ita AE ad EZ ; alterne igitur est ut AB ad AE ita BT ad EZ. Sed ut BT ad EZ ita. est EZ ad BH ; ct ut igitur AB ad AE ita EZ ad BH ; ipsorum igitur ABH, AEZ triangulorum reciprcca sunt latera circa aequales angulos. Quorum autem unum uni equalem habentium angulum triangulorum, re- ciproca sunt latera circa equales angulos, equalia sunt illa ; a quale igitur est. ABH trian- gulum ipsi AEZ triangulo. Ét quoniam cst ut BI ad EZ ita EZ ad BH ; si autem tres recte proportionales sint, prima ad tertiam duplam ralionem habere dicitur ejus quam ad secun- dam ; BL igitur ad BH duplam rationem habet cjus quam BIʼad EZ. Üt autem Br ad BH ita ABI triangulum ad AEBH triangulum ; ct ABT igitur triangulum ad ABH duplam rationem habet cjus quam BT ad EZ, /iquale autem ABH |
Prenons une troisième proportionnelle BH aux droïtes BT, Ez, de manière que ET soit à EZ comme EZ est à BH ; et Joignons HA (11. 6) .
Puisque AB est à Br comme AE est à EZ, par pefmutation, AB 6@st à AE comme Br est à EZ (16. 6) . Mais Br est à EZ comme EZ est à EH ; donc AB est à AE comme Ez est à BH (11. 5) ; donc les côtes des triangles 4BH, AEZ, autour des angles égaux, sont réciproquement proportionnels. Mais deux trian- gles sont égaux entrʼeux lorsquʼils ont un angle égal à un angle, et les côtés autour des angles égaux, réciproquement proportionnels (15. 6) ; donc le triangle ABH est égal au triangle 4Ez. Et puisque BT est à EZ comme EZ est à BH, et que lorsque trois droites sont proportionnelles, la première est dite avoir avec Ja troisième une raison double de celle que la première a avec la seconde (10. 5) , la droite Br a avec Ja droite BH une raison double de celle que Br a avec EZ. Mais Er est à BH comme le triangle ABr est au triangle ABH (déf. 1, 6) $ donc le triangle ABr a avec le triangle ABH une raison double
