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Αλλὰ δὲὴ αἱ ποῦ ΑΒΤ τριγώνου ʼπλευραἶ αἱ ΑΒ, ΑΓ οιναλογον ’τετμησθω σαν κατὲ τὰ Δ. Ἑ σημεῖα. ὡς ἡ ΒΔ ʼπρος τὴν ΔΑ οὔτως ἢ ΓῈ ’προς πὴν ἘΑ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ’ λέγω ὅτι παρ- ἀλληλός ἔστιν ἡ ΔῈ τῇ ΒΓ. |
Sed et ABT trianguli latera AB, AT propor- tionaliter secta sint in A, E punctis, ut BA ad ΔA ita TE ad EA, cet jungatur AE ; dico paral- lelam esse AE ipsi Br. |
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"Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων. ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ ʼπρὄς πτὴν ΔΑ οὗτως ἡ ΤῈ ʼπ͵οὃς τὴν ἘΑς ἀλλ ὡς μὲν ἡ ΒΔ ’πρὄς τὴν ΔΑ οὕτως τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔῈ τρι’γωνονδ, ὡς δὲ ΤῈ πρὸς τὴν ἙΑλοὕῦτως τὸ ΓΔΕ τρἷγωνον σρος τὸ ΑΔῈ τρι’- γωνον" καὶ ὡς ἆ’ρα τὸ ΒΔῈ ʼτρι’γωνον ʼπρὄς τὸ ΑΔΕ τρἷγωνονΒ οὕτως τὸ ΤΔΕ ΄ʼ : ʼρΐγωνον ’πρὄς τὸ ΑΔῈ τρίγωνονϑ, Ἑκατέρον ἄρα τῶν ΒΔΕ. ΤΔΕ τριγώνων πρὸς τὸ ΑΔῈ τρίγωνονϊ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, Ἰσὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔῈ τρίγωνον τῷ ΤΔῈ τριγὧνῳʼ καὶ εἴσιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΔΕ. Τὰὼ δὲ ἴσα τρίγωνα καὶ ἐπὶ τῆς αὖ- τὴς βάσεως ὄντα. καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλᾗ- λοις ἐστί, Παράλληλος ἀρα ἐστὶν ἡ ΔῈ τῇ ΒΓ, Eαν ἀρα τριγωνου, καὶ τὰ ἓἠῃζο |
lisdem enim constructis, quoniam est ut BA ad AA 1ta TE ad EA, sed ut BA quidem ad AA ita BAE triangulum ad AAE triangulum, ut TE vero ad EA ita TʼAE triangulum ad. AAE triangu- lum ; et ut igitur BAE triangulum ad. AAE trian- gulum ita TʼAE triangulum ad AAE triangulum. Utrumque igitur BAE, TAE triangulorum ad AAE iriangulum eamdem habet rationem. JÉ- quale igitur est BAE triangulum ipsi TʼAE trian- gulo ; et sunt super eàádem basi AE. JEqualia au- iem triangula et super cádem basi constituta et inlra casdcm parallelas sunt. Parallela gitur est AE ipsi BT. Si igitur trianguli, ctc. |
Mais que les côtés AB, AT du triangle ABrT soient coupés proportionnelle- ment aux points A, E, c’est-à-dire que BA soit à AA comme TE est. à EA, et joignons AE ; je dis que AE est parallèle à r.
Faisons la même construction. Puisque BA est à AA comme TE est à FA, que BA est à AA comme le triangle BAE est au triangle AAE (1. 6) , et que TE ést à EA comme le triangle TAE est au triangle AAE, le triangle BAE est au triangle AAE comme le triangle TAE est au triangle AAE (11. 5) . Donc chacun des triangles BAE, TAE a la même raison avec le triangle 4A4F. Donc le triangle BAE est égal au triangle TAE (9. 5) ; et ils sont sur la même base AE. Mais les triangles égaux et construits sur la même base sont entre les mêmes parallèles (39. 1) . Donc AE est parallèle à Br. Donc, etc.
