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ως τὄ ΑΕ πρῦς τὸ ΕΒ. ουτῶς τὸ ΓΗ σρος τὸ ἨΔ. , Ὑπἆκειτα͵ι δὲ καὶ ὡς τὸ ΑἙ πρὸς τὸ ἘΒ ουτῶως τὸ ΓΖ πρὸς Τοὸ ΖΔ" καὶ ωὡς ἀρὰ τὸ ΓῊ πρὸς τὸ ΗΔ οὕτως τὸ ΤΖ πρὸς τὸ ΖΔ. Μεῖζον δὲ τὸ πρῶτον τὸ ΤΗ τοῦ τρίτου τοῦ ΤΖ" μεῖζον ἀρα καὶ τὸ δὲεύ- Τέρὸν τὸ ΗΔ του τετάρτου τοὺ Ζ2Δ. Αλλὼ καὶ ἐλάττον, οπτερ ἐστιν ἀδυνώτον" οὐκ ὥρα ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τοὸ ΒΕ ου’τως το ΓΔ σρὸς ἐ λασσον τοῦ 2Δ. Ομοίως δὺὴ δείξομεν, ὅὃτε οὐδὲ πρὸς μεῖζον" πρὸς αὐτὸ ἄρα. Ἐὰν ἄρω διῃρημένα, καὶ τὰ ἑξῆς. |
ita TH ad HA, Ponitur autem et ut AE ad EB iia lʼZ ad ZA ; et ut igitur TH ad HA ita TZ ad ZA. Major autem prima TH tcrtià TZ ; major igitur et secunda HA quarlà ZA. Sed, et minor, quod est impossibile ; non igitur est ut AB ad BE ita TA ad minorem ipsá ZA. Si- militer utique ostendemus neque ad majorem ; ad ipsam igitur. $i igitur diviso, etc. |
| ΠΡΟΥΤΑΣΙΣ ιθ΄. | PROPOSITIO XIX. |
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Ἐχν ἷ ; ὡς ολον πρὸς ὁλὸν οὐτῶς αφοωρεθεν σρος αφαιρεθεν 5 καὶ τὸ λοῖίπον πρὸς τὸ λοσον ἐσται ῶς ολον σρος ολον. |
Si sit ut tota ad totam ita ablata ad abla- tam, et reliqua ad reliquam erit ut tota ad totam. |
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Ἔστω γὰρ ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸςὅλον τὸ ΤΔ οὕτως |
Sit enim ut tota AB ad totam ΓΔ ita ablata |
encore proportionnelles (17. 5). Donc AE est à EB comme TH est à HA. Mais on a supposé que AE est à EB comme IZ est à ZA ; donc TH est à HA comme IZ est à ZA (11. 5). Mais la première rH est plus grande que la troisième rz ; donc la seconde HA est plus grande que la quatrième za (14. 5). Mais elle est plus petite, ce qui est impossible ; donc AB n’est pas à BE comme TA est à une grandeur plus petite que ZA. Nous démontrerons semblablement que 4B n’est pas à BE comme TA est à une grandeur plus grande que ZA ; donc AB est à BE, comme TA est a ZA. Donc, etc.
Si une grandeur entière est à une autre grandeur entière comme la grandeur retranchée de la première est à la grandeur retranchée de la seconde, la grandeur restante sera à la grandeur restante comme la première grandeur entière est à la seconde grandeur entière.
Que la grandeur entière AB soit à la grandeur entière TA comme la grandeur
