| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιϛʹ. | PROPOSITIO XVI. |
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Ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ἧ. καὶ ἐναλλὰξ ἀτάλογον ἔσται. |
Si quatuor magnitudines proportionales sint, et alterne proportionales erunt. |
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Ἑστω τέσσωρα μεγέθη ἀνάλογον. τὰ Α. Β. Γ. Δ᾿ ὡς τ α ʼπρὄς τὸ Β οὕτως τ Τ στρὄς τὸ Δʼ λέγω ὅτι καὶ ἐναλλαὰξ ἀνώλογον ἐστὶν ! . ὡς τὸ Α πρὃς τὸ Τ οὑ’τως τὸ Β ʼπρὄς τὸ Δ. |
Sint quatuor magnitudines proportionales A, B, Tl, A, ut A ad B ita T ad A ; dico et al- terne proportionales esse, ut A ad T ita Bad A. |
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Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ἑ Ζ. τῶν δὲ Τ. Δ ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η. Θ. |
Sumantur enim ipsarum quidem A, B zque multiplices E, Z, ipsarum vero Tʼ, A alic ut- cunque eque muluplices H, 6. |
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Καὶ ἐπεὶ ἰσώκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Ἐ τοῦ Α καὶ τὸ 2 τοῦ Β. τὰ δὲ μἕρπ τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ληφθέντα καταλληλα" ἔστιν ο’ι’ροι ὡς πὸ α ʼπρὃς πὸ Β οὗ- τῶς σὸ Ε πρὃς τὸ Ζ, Ὡς δὲ τ Α 7η : ὄς τὸ Β |
Et quoniam zque est mulüplex E ipsius A ac Z ipsius B ; partes autem inter se compa- rai » eamdem habent rationem, quam earum aque multüplices ; est igitur ut A ad B ita E ad Z. Ut autem A ad B ita T ad A5 ; et ut igitur |
Si quatre grandeurs sont proportionnelles, elles seront proportionnelles par permutation.
Soient les quatre grandeurs proportionnelles A, B, Γ, Δ, c’est-à-dire que A soit à B comme Γ est à Δ ; je dis que ces grandeurs sont proportionnelles par permutation, c’est-a-dire que A est à Γ comme B est à Δ.
Prenons des équimultiples quelconques E, Z de A et de B, et d’autres équimultiples quelconques H, 6 de T et de a.
Puisque E est le même multiple de 4 que Z l’est de B, et que les parties comparées entr’elles ont la même raison que leurs équimultiples (15. 5), la grandeur À est à B comme E est à Z. Mais A est à B comme Γ est à A ; donc
