258 LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE.
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιʹ. | PROPOSITIO X. |
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Ἰῶν πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων, τὸ τὸν' μείζονα λόγον ἔχον, ἐκεῖνο μεῖζόν ἐστι, Πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν. |
Ipsarum ad eamdem rationem habentium, quz majorem rationem habet , illa major est; aq quam autem eadcm majorem rationem habet, illa minor est. |
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Ἐχέτω γὰρ τὸ Α πρὸς τὸ Τ μείζονα λόγον, ἤπερ τὸ Β πρὲς τὸ Τ' λέγω ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β. |
Habeat enim A ad T majorem rationem , qua B ad T ; dico majorem esse A ipsá B. |
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Εἰ γὰρ μὴ, ἤτοι ἴσον ἰστὶ τὸ Α τῷ Β, ἢ ἔλασσον. Ἰσὸν μὲν οὖν οὐκ ἔστι τὸ Α τῷ Β. ἑκά- τερον γάρ ἄν τῶν Α, Β πρὸς τὸ Τ τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον. Οὐκ ἔχει δὲ, οὐκ ἄρα ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β. Οὐδὲ μὴν ἔλασσόν ἔστι τὸ Α τοῦ Β, τὸ Α γὰρ ἂν πρὸς τὸ Τ τὸν ἐλάσσονα εἶχε λόγον" ἤπερ |
Si enim non , vel zqualis est A ipsi3, vd minor. Jqualis autem. non est A ipsi, utra- que enim ipsarum A , B ad T eamdem haberet rationem, Non habct vero; non igitur zqu- lis est A ipsi B. Neque tamen minor est A ipsà3, nam A ad T minorem haberet rationem quam |
Des grandeurs ayant une raison avec une même grandeur, celle qui a une plus grande raison est la plus grande, et celle avec laquelle cette même grandeur a une plus grande raison est la plus petite.
Que A ait avec T une plus grande raison que 2 avec T ; je dis que A est plus grand que B.
Car, si cela n’est pas, A est égal à B, ou plus petit. A nʼest pas égal à 5, car chacune des grandeurs A, B aurait la même raison avec r (7. 5)q. Mais chacune de ces grandeurs n’a pas la même raison avec r ; donc A n’est pas égal à B. A nʼest pas cependant plus petit que B ; car A aurait avec T une plus petite raison que B avec r (8. 5). Mais A nʼa pas avec T une plus petite raison que
