256 LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE.
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Αλλὰ δὴ τὸ ΔῈ τοῦ ΕΒ μεῖζον ἔστω7" τὸ δὴ ἔλαττον τὸ ΕΒ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ δμεῖζον. πεπολλασλασιάσθω, καὶ ἔστω τὸ ΗΘ πολλαπλάσιον μὲν τοῦ ἘΒ, μεῖζον δὲ τοῦ Δ' καὶ ὁσαπλάτσιόν ἔστι τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ, τοσαυτα- πλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ μὲν ΖΗ τοῦ ΑΕ, τὸ δὲ Κ τοῦ Γ. Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι τὰ 1Θ, Κὶ τῶν ΑΒ, ΓΤ ἰσώκις ἰστὶ πολλαπλάσια. Καὶ εἰλήφθω ὁμοίως τὸ Ν πολλαπλάσιον μὲν τοῦ Δ, πρώτως |
Sed et AEipsà EB major sit ; minor EB utique multiplicata, erit aliquando ipsá A major. Multi. plicetur, etsit HO multiplex quidem ipsius xs, major vero ipsé A; et quam mulüplex e HO ipsius EB, tam multiplex fiat et ZH quidem ipsius AE, ipsa vero K ipsiusT. Similiter utique ostendemus ipsas ZO, K ipsarum AB, T qu, esse multiplices. Etsumatur similiter N multiplex quidem ipsius A, primum vero major ipsá zu; |
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δὲ μεῖζον τοῦ 1" ὥστε πάλιν τὸ ΖΗ τοῦ Μ μὸ ἔλασσον εἶναιδ, μεῖζον δὲ τὸ ἨΘ τοῦ Δ’ ὅλον ἄρα τὸ 1Θ τῶν Δ, Μ τουτέστι τοῦ Ν ὑπερέχει, τὸ δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει, ἐπειδήπερ καὶ τὸ 2Ὴ μεῖζον ὃν τοῦ ΗΘ, τουτίστι τὸ Κ, τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει. Καὶ ὠσαύτωςϑ κατακολουθοῦντες τοῖς ἐπάνω περαίνομιν τὸν ἀπόδειξιν, Τῶν ἄρα ἀνίσων, καὶ τὰ ἑξῆς. |
quare rursus ZH ipsá M non minor eril, major autem HO ipsá A; tota igitur ZO ipsas A, M, hoc est N superat, K vero ipsam N non su. perat, quandoquidem et ZH qua major est ipsi HO,hoc est ipsá K, ipsam N non superat, Et similiter subsequentes superiora absolvemus de- monstrationem, Ergo inzqualium, etc. |
Mais que AE soit plus grand que E8 ; la plus petite grandeur EB étant multipliée deviendra enfin plus grande que 4 (déf. 5. 5). Qu’elle soit multipliée, et que He soit un multiple de EB plus grand que A, et que ZH soit le même multiple de AE, et Kk de r, que H@ l’est de EB8. Nous démontrerons semblablement que Z6,K sont des équimultiples de 4B et de r. Prenons semblablement un multiple N de 4 qui soit plus grand pour Ja première fois que ZH; ZH ne sera pas plus petit que M. Mais H@ est plus grand que 4; donc la grandeur entière Z© surpasse A, M pris ensemble, c’est-à-dire N. Mais ne surpasse pas N , parce que ZH étant plus grand que H@ , c’est-à-dire que K, ne surpasse pas N. Et conformément a ce qui a été dit auparavant, nous achèverons la démonstration. Donc, etc.
