LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE. 255
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λαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ Κα τοῦ Γ, ἴσον δὲ τὸ ΕΒ τῷ Τ΄ ἴσον ἄρα καὶ τὸ Κ τῷ ΗΘ. Τὸ δὲ Κ τοῦ Μ οὐκ ἔστιν ἔλαττον" οὐδὲ ἄρα τὸ ΗΘ ποῦ Μ ἔλαττόν ἔστι. Μεῖζον δὲ τὸ 1Η τοῦ Δ᾽ ὅλον ἄρα τὸ 19 συναμφοτέρων τῶνδ, Μ μεῖζόν ἐστιν. Αλλὰ συναμφότερα ᾿ τὰ Δι. Μτῷῶν ἰστὶν ἴσα" ἱπειϑήπερ τὸ Μ τοῦ Δ τριπλάσιόν ἐστι. συναμφότερα δὲ τὰ Δ. Μ τοῦ Δ ἐστὶ τετραπλά- σια, ἐστὶ δὲ καὶ τὸ τοῦ Δ τετραπλάσιον" συν- ἀμφότερα ἄρα τὰ Μ, Δ τῷ Ν ἴσα ἐστὶν. Αλλὰ τὸ 1Θ τῶν. Δ, Μ μεῖζον ἐστίνδ'τὸ 2Θ ἄρα τοῦ Ν ὑπερέχει» τὸ δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει. Καὶ ἔστι τὰ μὲν 1Θ, Κὶ τῶν 48. Τ ἰσάκις πολλαπλάσια, πὸ δὲ Ν τοῦ Δ ἄλλο ὃ ἔτυχε πολλαπλάσιον" τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ Τ πρὸς τὸ Δ. |
EB ac K ipsius T, æqualis autem EB ipsius T; equalis igitur et K ipsi HO. Ipsa vero K ipsá M non est minor; non igitur HO ipsá M minor est. Major autem ZH ipsá A; tota igitur Ze utrisque simul A, M major est. Sed utraeque simul A, M ipsi N sunt equales, quandoqui- dem M ipsius A est tripla, ulreque autem simul ^, M ipsius A sunt quadruple, est vero et N ipsius A quadrupla, utrzque simul igituf M, A ipsi N zquales suni, Sed Zo ipsis A, M major est; ZO igitur ipsam M superat. K vero ipsam N non superat. Et sunt ipse qui- dem2Ze, K ipsarum AB, l'eque multiplices, ipsa yero N ipsius A alia utcunque multiplex ; AB igi- tur ad A majorem rationem habet quam T ad A. |
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Λέγω δὴ ὅτι καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Τ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ ΑΒ. |
Dico autem et A ad T majorem rationem habere, quam A ad AB. |
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τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ὁμοίως δείξομεν, ὅτι τὸ μὲν Ν᾿ τοῦ Κ ὑπερέχει, τὸ δὲ Ν τοῦ 268 οὐχ ὑπερέχει. Καὶ ἔστι τὸ μὲν Ν τοῦ Δ πολλαπλάσιον, τὰ δὲ 1Θ, Κ τῶν ΑΒ,Τ ἄλλα ἃ ἔτυχεν Ἰσάκις πολλαπλάσια" τὸ Δ ἄρα πρὲς τὸ Τ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ ΑΒ. |
lisdem enim constructis, similiter ostende- mus, N quidem ipsam K superare, N vero ip- sam ZO non superare. Et est N quidem ipsius A multiplex, et ipse Z6, K ipsarum AB, T alie uicunque sque multiplices; A igitur ad P majorem rationem habct quam A ad AB, |
que ho est le même multiple de EB que k l’est der, et que EB est égal ar, H© est égal à K. Mais K n’est pas plus petit que M; donc He n’est pas plus petit que M. Mais ZH est plus grand que 4 ; donc la grandeur entière ze est plus grande que A et M pris ensemble. Mais A, M pris ensemble sont égaux à N, puisque M est triple de 4, que 4, M pris ensemble sont quadruples de 4, et que N est quadruple de 4, les grandeurs M, 4 prises ensemble sont égales à N. Mais Z® est plus grand que A, M; donc 79 surpasse N. Mais K ne surpasse pas N, et Z®, K sont des équimultiples de 48 et de T, et N est un autre multiple quelconque de 4 ; donc AB a une plus grande raison avec A, que r avec A (déf. 8. 5).
Je dis de plus que à a une plus grande raison avec T que 4 avec 4B.
Ayant fait la même construction, nous démontrerons semblablement que N surpasse K, et que N ne surpasse pas Z@. Mais N est un multiple de 4, et Z6, K sont d’autres équimultiples quelconques de 4B et de r ; donc 4 a une plus grande raison avec r que A avec AB (déf, 8. 5).
