254 LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE.
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τὸ ΤῊ μεῖζον ὃν τοῦ Δ, καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ὯῊ τοῦ ΑΒ, τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ μὲν ΗΘ τοῦ ΕΒ, τὸ δὲ Κ τοῦ Γ᾽ καὶ εἰλήφθω τοῦ Δ διπλάσιον μὲν τὸ Δ, τριπλάσιον δὲ τὸ Μ,, καὶ ἑξῆς ἱνὶ πλεῖον ἕως οὖδ τὸ λαμέανόμενον πολλαπλάσιον μὲν γένηται τοῦ Δ, πρῶτως δὲ μεῖζον τοῦ κι Εἰλήφθω, καὶ ἔστω τὸ Ν τετραπλά- σιον μὲν τοῦ Δ, πρώτως δὲ μείζον τοῦ Κ. |
ipsâ A, et quam multiplex est ZH ipsius AE, tam multiplex fiat et HO quidem ipsius zB, ipsa vero K ipsius T; et sumatur ipsius A dupla quidem ipsa A, tripla vero M, q deinceps unà major quoad sumpta mulliple; quidem fiat ipsius A, primum vero major ipsà K. Sumatur, et sit N quadrupla quidem ipsius A, primum vero major ipsi K, |
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Ἐπεὴ οὖν τὸ Κ τοῦ Ν᾿ πρώτως ἐστὶν ἔλαττον, τὸ Κ ἄρα τοῦ Μ οὐκ ἔστιν ἔλαττον. Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ 1Η τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ἸῊ τοῦ ΑῈ καὶ τὸ 2Θ τοῦ ΑΒ. Ἰσάκις δέ ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ Κ τοῦ Τ. Ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ 2Θ τοῦ ΑΒ, καὶ τὸ Κ τοῦ Γ' τὰ 190, Κ ἄρα τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια. Πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολ-- |
Quoniam igitur K ipsà N primum est minor, ipsa K igitur ipsá M non est minor. Et quoniam mque cst multiplex ZH ipsius AE ac HO ip- sius EB, seque igitur est multiplex ZH ipsius AE ac ZO ipsius AB. /Eque autem est multiplex ZH ipsius AE ac K ipsius D; eque igitur est multiplex Zo ipsius AB ac K ipsius T'5 ipse Z0, K igitur ipsarum AB, T' eque sunt multiplices. Rursus, quoniam aque est multiplex Ho ipsius |
zh soit plus grand que A, et que He soit le même multiple de EB, et k le même multiple de r, que ZH l’est de AE. Prenons la grandeur A double de 2, la grandeur M triple de 4, et ainsi de suite, une fois de plus, jusqu’à ce que le multiple de A deviène pour la première fois plus grand que k. Prenons ce multiple ; que N, quadruple de 4, soit plus grand que K, pour la première fois.
Puisque K est pour la première fois plus petit que N, la grandeur K n’est pas plus petite que M. Mais ZH est le même multiple de AE que H© l'est de EB ; donc zH est le même multiple de AE que Ze l’est de AB(1. 5). Mais zH est le même multiple de AE que k l’est de r; donc ze est le même multiple de 4B que x l’est de r ; donc Z®, K sont des équimultiples de 48 et de r. De plus, puis-
