e> xxiij Euclide aurait pu donnerà cecorollaire la forme d’un théorème, en disant : Si des grandeurs composées (*) sont proportionnelles, elles sont proportionnelles par conversion. A E B Z à Soient les grandeurs composées AB, AE, TA, TZ, et Que 4B soit à AE comme IA est à rz 5 je dis que par conversion AB est à EB comme r4 està ZA, Car, puisque AB est à AE comme TA està IZ, par permutation AB est à rA commeAEestàrz (16. 5) ; maisonadémontréqueABestàrAcommeEB est à ZA (19. 5) ; donc, par permutation, AB est à EB comme TA est à Za, cʼestà-dire que AB està AB—AE comme TA est à TA—IZ (106. 5) ; ce qui est par conversion. Ce quʼil fallait démontrer. Dans le texte du manuscrit 190, il nʼest nullement question de secteurs circulaires dans la dernière proposition du livre 6. Une main étrangère a interligné et écrit en marge de ce manuscrit ce qui se trouve de relatif aux secteurs circulairès dans le texte de tous les autres manuscrits, et dans les éditions de Bâle et dʼOxford. Cette addition au texte, que je nʼaurais pas dû conserver, est de Théon. Voici ce quʼil dit lui-même dans ses commentaires sur lʼAlmageste, pag. 5o, l. 7, édit. de Bâle, 1538 : « ὅτι δὲ οἱ ἐπ ἴσων κύκλων τομεῖς πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ γωγίαι ἐφ ὧν βεθήκασι δέδεικται ἡμῖν ἐν τῇ εκδοσει τῶν στοιχείων πρὸς τῷ τέλει τοῦ έκτου βίθλιου » Jʼai démontré dans mon édition des Éléments, et à la fin du sixiéme livre, que dans les cercles égaux : les secteurs sont entre eux comme les angles placés dans ces cercles. Cette addition de Théon, qui nʼest dʼaucun usage dans la suite, ne sert quʼà retarder la marche dʼEuclide. On trouve dans les livres 10, 14, 15 surtout, ainsi que dans les Données, une foule de pareilles superfluités dont aucune n’est admise dans le texte du manuscrit 190. On a toujours admiré Euclide en ce quʼil marchait directement vers son but, sans jamais sʼécarter de son chemin, pour démontrer ce qui ne lui était pas nécessaire pour aller en avant. Mais cela nʼest vrai que pour le seul manuscrit 190 ; cʼest pour- —À x - . e ED
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(") Quatre grandeurs sont dites composées, lorsque la seconde est une fraction de la premiére, et que la quatrième est une fraction de la troisième.
