LE QUATRIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE.
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ἡ ὑκὸὺ ΕΒΗ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΑΓ. Διὰλ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΖΚ ἐστὶ παρ- ἀλληλοςῖ. Ωστε καὶ ἡ ΗΘ τῇ ΖΚ ἐστὶ παράλλη- λος35, Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἐκατέρα τῶν ΗΖ, ΘΚ τῇ ΒΕΔ ἐστὶ παράλληλος. Παραλληλό- γραμμὰ ἐστὶ τὰ ΗΚ, ΗΓ, ΑΚ, ΖΒ, ΒΚ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΗΖ τῇ ΘΚ, ἡ δὲ ΗΘ τἶ ΖΚ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, ἀλλὰ καὶ Ἀἡ μὲν ΑΓ ἐκατέρᾳ τῶν ΗΘ, ΖΚ7, ἡ δὲ ΒΔ ἐκα- |
igitur est HΘ ipsi AΓ. Propter eadem utique et AΓ ipsi ZK est parallela ; quare et H— ipsi ZK est parallela. Similiter utique ostendemus, t utramque ipsarum HZ, GK ipsi BEA ESSe paral- lelam. Parallelograma igitur sunt H, HΓ, AE, ZB, BEÉ ; æqualis igitur est HZ quidem Ipsi ek, ipsa vero H^ ipsi ZK. Et quoniam æqualis est AΓ ipsi B^, sed et ipsa quidem AΓ utrique ipsa- rum H-, ZÉ, ipsa vero EΔ utrique ipsarum |
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τέρᾳ τῶν ΗΖ, ΘΚ ἐστὶν ἴση" καὶ ἐκατέρα ἄρα τῶν ΗΘ, ΖΚ ἐκατέρᾳ τῶν ΗΖ, ΘΚ ἐστὶν ἴσηϑ, Ισόπλευρον. . ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ τετράπλευρην. Λέγω δὴ9 ὅτι καὶ ὀρθογώνιον. Ἐπεὶ γὰρ παράλλη- λόγραμμόν ἐστὶ τὸ ΗΒΕΑ, καὶ ἐστὶν ὀρθη ἡ ὑπὸ ΑΕΒ. ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΒ. Ομοίως δὴ δείζξο. Μμεν ὅτι καὶ αἱ πρὸς τοῖς Θ, Κ, Ζ γωνίαι ὀρθαί εἰ- σιν. ὀρρογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖζΖΗΘΚ τετραπλευρον10. |
HZ, GK est æqualis ; et uterque igitur ipsaruni HE, ZK utrique ipsarum HZ, QVK est æqualis. Aquilaterum igitur est ZHEK quaduilaterum. Dico et rectangulum. Quoniam enim paralle- logrammum est HBEA, et est rectus AEB ; rec tus igitur et AHB, Similiter utique ostendemus et ipsos ad &, K, Z angulos rectos esse ; rec tangulum igitur est ZHOK quadriilaterum. Os-. |
lèle à la droite ΑΓ (28. 1) . Par la même raison, la droite ΑΓ est parallèle à la droite ΖΚ. Donc ΗΘ est parallèle à ΖΚ. Nous démontrerons semblablement que l’une et l’autre des droites HZ, ΘΚ est parallèle à la droite BEñ. Donc les figures HK, ΗΓ, ΑΚ, ZB, BK sont des parallélogrammes ; donc ΗΖ est égal à ex (34. 1) , et HΘ égal à ZK ; et puisque ΑΓ est égal à BA, que. AΓest égal à l’une et à l’autre des droites ΗΘ, ZK, et que ΒΔ est égal à l’une et à l’autre des droites HZ, ΘΚ, les droites ΗΘ, ZK sont égales aux droites HZ, œk. Donc le quadrilatère ΖΗΘΚ est équilatéral. Je dis aussi qu’il est rectangle, car puisque HBEA est un parallélogramme, et que l’angle ΑEB est droit, l’angle AHB est droit aussi (34. 1) . Nous démontrerons semblablement que les angles sont droits en Θ, K, Z ; donc le quadrilatère ΖΗΘΚ est rectangle ; mais on
