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ῆχθω τῇ ΑΒ εὐθείᾳ, ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ ση- μείου τοῦ Α, πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΓ. καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΔʼ καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ σημείου τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΕ. διὰ δὲ τοῦ Β σημείου τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΕ. |
Ducaturipsi ABrectæ, a puncto in eà A, ad rectos ipsa AΓ ; etponatur ipsi AB æqualis AΔ ; et per á quidem punctum ipsi AB parallela ducatur AE ; per B wero punctum ipsi AB parallela ducatur BE. |
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Παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ. ἴση ἄρὰ ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΒΕ. Αλλὰϊ ἡ ΑΒ τῇ ΑΔ ἐστὶν ἴση0 αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΒΑ, ΑΔ, ΔΕ, ΕΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν- ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ παραλληλύγραμ- μον. Λέγω δὲ ὅτι καὶ ὀρθογώνιον. Ἐπεὶ γὰρ. εἰς παρ- αλλήλους τὰς ΑΒ, ΔΕ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΔ. αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΔΕ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. Ορθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ. ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΕ. Τῶν δὲ παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλ- λήλαις εἰσίν" » ὀρθὴ ἄρα καὶ ἐκατέρα τῶν ἀπ- ἐναντίον τῶν ὑπὸ ΑΒΕ, ΒΕΔ γωνιῶν. ὀρθογώνιον |
Parallelogrammum igitur est AAEB ; æqualis igitur est quidem AB ipsi AE, AΔ vero ipsi BE. Sed AB ipsi AΔ est æqualis ; quatuor igitur BΔ, AB, AE, EB æquales inter se sunt ; equilaterum igitur est AΔEB parallelogerammum. Dico etiam et rectangulum. Quoniam enim in parallelas AB, AE recta incidit AΔW ; ergo BAΔ, AΔEauguli duobus rectis æquales sunt. Rectus autem est BAΔ ; rectus igitur et AAE. Parallelogranimorum autem spatiorum opposita latera et anguli Óqualia inter se sunt ; rectus igitur et uterque opposito- rum ABE, BEΔ angulorum ; rectangulum igitur est AΔEB, Ostensum autem est et æquilaterum ; |
Du point 4, donné dans cette droite, conduisons AΓ perpendiculaire à ΑΒ (11) ; faisons ΑΔ égal à AB (3) ; par le point Δ conduisons AB parallèle à ΑΒ (31) ; et par le point B conduisons BE parallèle à ΑΔ.
La figure ΑΔΕΒ est un parallélogramme ; donc ΑΒ est égal à ΔE, et AΔ égal à BE. Mais AB est égal à ΑΔ ; donc les quatre droites BA, ΑΔ, X/E, EB sont égales entrelles ; donc le parallélogramme ΑΔEΒ est équilatéral. Je dis aussi qu’il est rectangle. Car puisque la droite as tombe sur les parallèles ΑΒ, ΔΕ, les angles BA) , AGE sont égaux à deux droits (20) ; mais l’angle ΒΑΔ est droit ; donc Pangle ΑΔΕ est droit aussi. Mais les. côtés et angles opposés des parallélogrammes sont égaux entreux (34) ; donc chacun des angles opposés ABE, ΒΕΔ est droit ; donc le parallélogramme AGEB est rectangle ; mais nous avons démontré qu’il est
