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Εστω παραλληλόγραμμον χωρίονϊ τὸ ΑΓΔΒ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΒΓ. λέγω ὅτι τοῦ ΑΓΔΒ παραλληλογράμμου αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶ, καὶ ἡ ΒΓ διά. μεέτρος αὐτὸ δίχα τέμνει. |
Sit parallelogrammum spatrum AΓΔB, dia- meter autem ipsius BΓ ; dico AΓAB parallelo- grammi opposita et latera et angulos æqualia inter se esse, et BΓ diametrum illud bifariam secare. |
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Επεῖ γὰρ παραλληλὸς ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ εἰς αυὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί. Πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῃ ΒΔ, καὶ εἰς αυτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, ΓΒΔ ἴται ἀλλήλαις εἰσί. Δύο δὴ τρίγωνὰ ἐστι τὰ ΑΒΓ, ΒΓΔ τὰς δὐο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΒΔ ἴσας ἐχοντα. ἐκατέρὰν ικατερᾳ, καὶ μίαν πλευραν3 μιᾳ πλευρᾷ ἰσήν, τὴν πρὸς ταις ἴσαις γονίαις. κοινήν αυτῶν τῆν ΒΓἑξ π καὶ ταὰς λοιπας ἀρὰ σπλευρὰς ταῖς λοιπαῖς ἴσας ἐζξζει, ἐκατερὰν Πκατεέρω, ζ΄αι τὴῆν λοιπήν γωνί (ὰν τήη λοιπῇ γωνίᾳ. |
Quoniam enim parallela est AB ipsi ΓΔ, et in ipsas incidit recta BΓ, alterni anguli ABΓ, BΓΔ, æquales inter se sunt. Rursus, quoniam parallela est AΓ ipsi BΔ, et in ipsas incidit BΓ, alterni anguli AΓB, ΓBΔ æquales inter se sunt. Duo igitur triangula sunt ABΓ, BΓΔ, duos an- gulos ABΓ, BΓA duobus angulis BΓΔ] , ΓBΔ æquales habentia, utrumque utrique, et unuum latus uni lateri æquale, quod est ad æquales angulos, commune utrique BΓ ; et reliqua igitur reliquis lateribus æqualia habebunt, utrumque utrique, et reliIquum angulum reliquo angulo ; æquale igitur est AB quidem latus ipsi Γ2, |
Soit le parallélogramme ΑΓΔΒ, et que Br soit sa diagonale ; je dis que les côtés et les angles opposés du parallélogramme ΑΓΔΒ sont égaux entr’eux, et que la diagonale Br le partage en deux parties égales.
Car puisque AB est parallèle à TA, et que la droite ΒΓ tombe sur ces droites, les angles alternes ABr, ΒΓΔ sont égaux entr’eux (29) . De plus, puisque AT est parallèle à BA, et que ΒΓ tombe sur ces droites, les angles alternes ΑΓΒ, ΓΒΔ sont égaux entr’eux ; donc les deux triangles ABr, ΒΓΔ ont les deux angles ΑΒΓ, BrA égaux aux deux angles BrA, TBA, chacun à chacun, et un côté égal à un côté, savoir, le côté commun Br, qui est adjacenst aux angles égaux ; ils auront donc les autres côtés égaux aux autres côtés, chacun à chacun (26) , et l’angle restant égal à l’angle restant ; donc le côté AB est égal au côté ΓΔ, le côté AΓ égal au côté BA, et l’angle
