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αλλήλους, εὐθείας τὰς EΖ. ΓΔ εὐθεῖα εἐμ- πίπτωκεν ἡ ΗΚ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΘΖ τῇ ὑπὸ ΗΚΔ. Εδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ ἴσήη. Καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ ἄρὰ τῇ ὑπὸ ΗΧΚΔ ἐστὶν ἴση. καὶ εἴσιν ἐναλλάξ. Παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ. Αἱ ἀρὰ τῇ αυτῇ εὐθείᾳῳ) , καὶ τὰ εἐξῆς. |
cidit HK, æqualis est HOZ 1ipsi HKA. . Ostensus est autem et AHK 1psi HGZ æqualis ; AHK igitur ipsi HKA est æqualis ; et sunt alterm. Paral- lela igitur est AB ipsi lʼA. Quase igitur eidem recta, etc. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λά. | PROPOSITIO XXXI. |
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Διὰ τοῦ δοθέντος σημείουʼ. τῇ δοθείση εὐθείᾳ παράλληλον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. |
Per datum punctum, date recte parallelam rectam lineam ducere. |
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Ἐστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ. δεῖ δὴ, διὰ τοῦ Α σημείου, τὴ ΒΓ εὐθείᾳ παράλληλον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. |
Sit quidem datum punctum A, data vero recla BIʼ ; oportet igitur, per A punctum, ipsi BTʼ rectæ parallelam rectam lipeam ducere. |
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Εἰλήφθω ἰπὶ τῆς, ) Γ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ’ καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΑ |
Sumatur in BIʼ quodlibet punctum A, et jun- gatur AÀ ; et constituatur ad AA rectam, et ad |
Puisque la droite HK tombe sur les droites parallèles AB, EZ, l’angle ΑΗΘ est égal à l’angle ΗΘΖ (27) . De plus, puisque la droite HK tombe sur les droites parallèles EZ, ΓΔ, l’angle ΗΘΖ est égal à l’angle ΗΚΔ (28) . Mais on a démontré que l’angle AHK est égal à l’angle HΘZ ; donc l’angle AHK est égal à l’angle HKΔ ; mais ces angles sont alternes ; donc AB est parallèle à ΓΔ (20) . Donc, etc.
Par un point donné, conduire une ligne droite parallèle à une droite donnée.
Soit A le point donné, et BΓ la droite donnée ; il faut par le point A conduire une ligne droite parallèle à la droite BΓ.
Prenons sur la droite BΓ un point quelconque Δ, et joignons ΑΔ ; construisons
