Euclide met deux conditions en ce theoreme qui y ſont du tout neceſſaires, la Premiere deſquelles eſt que deux coſtez d’un triangle ſoient egaux aux deux coſtez de l’autre chacun au ſien : & la ſeconde, que les deux angles contenus d'iceux coſtez egaux, ſoient auſſi egaux Car defaillant l'une ou l’antre de ſes deux conditions, ny les baſes, ny les autres angles ne pourroient iamais eſtre egaux : & la derniere defaillant, les triangles peuuent bien eſtre quelquefois egaux, mais le plus souuent ils ſont inegaux : ce que nous pourrions facilement demonſter : icy n'eſtoit que pluſieurs choſes à ce requiſes n’ont encore eſté demonſtrees : neantmoins afin de rendre aucunement euidente la neceßité des ſuſdites conditions nous rapporterons icy ce qu'en dit Proclus ſur ceſte propoſition, & Clauius apres luy.
Pour la premiere condition de ce theoreme, ſoient deux triangles ABC, DEF, ayans les angles A & D egaux aux deux coſtez DE, DF, non cha-
cun au ſien, mais ces deux-là pris enſemble egaux à ces deux-cy außi pris enſemble : & ſoit AB3 & AC4, qui adiouſtez enſemble font 7, mais DE ſoit 2, & DF 5, qui Vont außi enVemble 7. Ce qu'eſtant ainſi, la baſe BC BC ſera 5, & la baſe EF, racine quarree de ce nombre 29, laquelle eſt plus grande que 5, mais moindre que 6, & l'aire ou ſuperficie du triangle ABC ſera 6 : mais l'aire du triangle DEF ne Vera que 5. Finalement les angles ſur la baſe BC ne ſeront pas egaux aux angles de deſſus la baſe EF, chacun au ſien. Toutes leſquelles inegalitez adviennent à cauſe de ce que les coſtez AB, AC ne ſont pas egaux aux coſtez DE, DF chacun au ſien. Quant a la ſeconde condition : les coſtez AB, AC du triangle ABC ſoient égaux aux coſtez DE, DF du triangle
DEF, chacun au ſien, & chacun d’iceux ſoit 5, mais les angles A & D contenus d’iceux coſtez ſoient inégaux, & ſoit plus grand que D. Toutes leſquelles choſes eſtans ainſi, la baſe B C ſera plus grande que la baſe EF, comme il ſera demonſtré en la 14. prop, de ce liure.
Que ſi nous poſons la baſe IC eſtre 8, & la baſe EF 4, l'aire du triangle ABC, ſera 12 ; mais l'aire du triangle DEF ſera la racine quarree de ce nombre 84, laquelle eſt plus grande que 9, mais moindre que 10. Ce qui eſt très-bien cogneu des Geometres.
Et afin qu'on n’eſtime pas que ceſte inégalité aduienne a raifon de ce que tous les quatre coſtez des triangles ſont egaux, & rendre tant plus manifeſte la neceßité de
