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La hauteur de l’équateur sur l’horizon d’un lieu est un élément indispensable aux personnes qui veulent faire de l’astronomie dans ce lieu. Cette hauteur est égale à la distance du pôle au zénith, ou au complément de la latitude géographique ; à Paris, sa valeur est de 41° 9′ 47″.

Nicollet.

ÉQUATEUR MAGNÉTIQUE. Voyez Magnétisme terrestre.

ÉQUATIONS. (Analyse.) Lorsqu’on traduit en langage algébrique les conditions d’un problème, il arrive souvent qu’on en tire des expressions qui doivent être égales entre elles : c’est ce qu’on appelle des équations. Comme les questions ont ordinairement pour objet la recherche des valeurs inconnues de certains nombres, qui, représentés par des lettres $x$, $y$, $z\cdots$, sont engagés dans ces expressions, on se propose d’en tirer les grandeurs par des calculs convenablement dirigés : c’est ce qu’on appelle résoudre les équations. Les méthodes dont on fait usage sont fondées sur des propriétés que nous allons exposer, en commençant par les équations qui ne renferment qu’une inconnue $x$.

Il faut d’abord supposer qu’on a transporté tous les termes de l’équation dans le premier membre, et qu’on a réduit en un seul tous ceux qui sont affectés d’une même puissance de $x$ : cette opération dépend des règles élémentaires de l’algèbre, et ne doit pas nous arrêter. L’équation se trouve alors mise sous cette forme :

$kx^{\mathrm {m} }+px^{\mathrm {m} -1}+qx^{\mathrm {m} -2}+\cdots +tx+u=0$

équation que nous représentons, pour abréger, par $\mathrm {X} =0$ : elle est dite du degré $m$, et les coefficients $k,p,q\cdots t,u$, sont des nombres donnés, positifs, nuls ou négatifs, suivant les cas proposés. Admettons que l’on divise ce polynôme $\mathrm {X}$ par $x-a$, $a$ étant un nombre choisi à volonté, on aura un quotient $\mathrm {Q}$ du degré $m-1$, et un reste $\mathrm {R}$ qui ne contiendra pas l’inconnue $x$, puisqu’on peut continuer la division tant que $x$ entre dans le reste. Or, il est clair qu’en multipliant le quotient $\mathrm {Q}$ par le diviseur $x-a$, puis ajoutant le reste $\mathrm {R}$, on reproduira le dividende $\mathrm {X}$, savoir :

$\mathrm {X=Q} (x-a)+\mathrm {R} .$

Cctte équation n’a pas, comme la précédente, besoin, pour subsister, qu’on donne à $x$ une valeur déterminée ; elle est vraie, quelque nombre qu’on substitue pour $x$ ; c’est une équation identique. En effet, si l’on exécutait les calculs qui sont indiqués dans le second membre, on devrait retrouver le premier $\mathrm {X}$, et cela sans qu’il soit nécessaire d’attribuer à $x$ de valeur particulière. Cela posé, puisqu’ici $x$ est quelconque, faisons $x=a$ ; le terme $\mathrm {X}$ se changera en un nombre $\mathrm {A}$ ; $\mathrm {Q} (x-a)$ sera nul ; et $\mathrm {R}$, qui ne contient pas $x$ restera ce qu’il est, on aura $\mathrm {A=R}$ ; c’est-à-dire que, si l’on divise le polynôme $\mathrm {X}$ par $x-a$, le reste $\mathrm {R}$ sera $ka^{m}+pa^{m-1}+\cdots +u$ ou ce que devient le polynôme $\mathrm {X}$, quand on y remplace $x$ par $a$.

Admettons maintenant que $x=a$ satisfasse à l’équation proposée, ou rende $\mathrm {X}$ nul ; on aura donc $\mathrm {R} =0$, et $\mathrm {X=Q} (x-a)$ ; ainsi $\mathrm {X}$ est, dans ce cas, exactement divisible par $x-a$. Comme on est convenu d’appeler racine d’une équation toute valeur de $x$ qui y satisfait, on énonce ainsi ce théorème : Toute équation est divisible sans reste par l’inconnue moins sa racine. Nous voyons en outre que si $a$ n’est pas racine, $x-a$ ne divise pas $\mathrm {X}$, puisque le reste est $\mathrm {R} =ka^{m}+pa^{m-1}\cdots$ qui n’est pas $=0$

Résoudre l’équation $\mathrm {X} =0$ revient à rendre nul le produit $\mathrm {Q} (x-a)$. Or, non-seulement $x=a$ jouit de cette propriété ; mais tout nombre qui rend nul le polynôme $\mathrm {Q}$, du degré $m-1$, en jouit pareillement. Si $x=b$ donne $\mathrm {Q} =0$, on aura aussi $\mathrm {Q} =Q^{\prime }(x-b)$ ; et de même si $x=c$ donne $\mathrm {Q} ^{\prime }=0$, on aura $\mathrm {Q^{\prime }=Q^{\prime \prime }} (x-c)$, et ainsi de suite. Comme les degrés des quotients $\mathrm {Q} ^{\prime }$, $\mathrm {Q} ^{\prime \prime }\cdots$ s’abaissent graduellement d’une unité chaque fois, après $m-1$ divisions successives, on arrive au quotient $x-l$ du premier degré, et on a

$\mathrm {X} =(x-a)(x-b)(x-c)\cdots (x-l).$

C’est-à-dire que tout polynôme du degré $\mathrm {m}$ peut étre considéré comme le produit de $\mathrm {m}$ facteurs binômes du premier degré, et que l’équation proposée $\mathrm {X} =0$ admet $\mathrm {m}$ racines $x=a,=b,=c,\cdots =l$. On ne pourrait supposer que $\mathrm {X}$ fût en même temps le produit d’un autre système de $m$ facteurs binômes $(x-a^{\prime })(x-b^{\prime })(x-c^{\prime })\cdots$ dont tous ou plusieurs seraient différents des précédents. En effet, si $\mathrm {X}$ admettait le facteur $x-a^{\prime }$, $a^{\prime }$ étant différent des nombres $a$, $b$, $\cdots l$, en faisant $x=a^{\prime }$, on aurait $\mathrm {X} =0$ ou $\mathrm {Q} (x-a)=0$. Or, $x-a$ devient $a^{\prime }-a$ qui n’est pas nul ; donc $\mathrm {Q}$ devient $=0$ quand on fait $x=a^{\prime }$, savoir $\mathrm {Q^{\prime }} (x-b)=0$, pour $x=a^{\prime }$; et comme $a^{\prime }-b$ n’est pas nul, c’est $\mathrm {Q}$ qui l’est, et ainsi de suite. On trouverait enfin $a^{\prime }-l=0$, ou $a^{\prime }=l$, contre l’hypothèse. Ainsi, toute équation du degré $\mathrm {m}$ ne peut être décomposée qu’en un seul système de facteurs binômes du premier degré, et admet $\mathrm {m}$ racines seulement.

Puisqu’on reproduit identiquement le polynôme proposé $\mathrm {X}$, en multipliant les $m$ facteurs binômes $x-a$, $x-b$, $x-c,\cdots$ pour savoir comment les coefficients $p,q,r,\cdots u$ sont èomposés à l’aide des racines $a,b,c\cdots$> il suflit d’exécuter la multiplication. Si, par exemple, on prend ces trois facteurs binômes