La hauteur de l’équateur sur l’horizon d’un lieu est un élément indispensable aux personnes qui veulent faire de l’astronomie dans ce lieu. Cette hauteur est égale à la distance du pôle au zénith, ou au complément de la latitude géographique ; à Paris, sa valeur est de 41° 9′ 47″.
ÉQUATEUR MAGNÉTIQUE. Voyez Magnétisme terrestre.
ÉQUATIONS. (Analyse.) Lorsqu’on traduit en langage algébrique les conditions d’un problème, il arrive souvent qu’on en tire des expressions qui doivent être égales entre elles : c’est ce qu’on appelle des équations. Comme les questions ont ordinairement pour objet la recherche des valeurs inconnues de certains nombres, qui, représentés par des lettres , , , sont engagés dans ces expressions, on se propose d’en tirer les grandeurs par des calculs convenablement dirigés : c’est ce qu’on appelle résoudre les équations. Les méthodes dont on fait usage sont fondées sur des propriétés que nous allons exposer, en commençant par les équations qui ne renferment qu’une inconnue .
Il faut d’abord supposer qu’on a transporté tous les termes de l’équation dans le premier membre, et qu’on a réduit en un seul tous ceux qui sont affectés d’une même puissance de : cette opération dépend des règles élémentaires de l’algèbre, et ne doit pas nous arrêter. L’équation se trouve alors mise sous cette forme :
équation que nous représentons, pour abréger,
par : elle est dite du degré , et les
coefficients , sont des nombres
donnés, positifs, nuls ou négatifs, suivant les
cas proposés. Admettons que l’on divise ce
polynôme par , étant un nombre
choisi à volonté, on aura un quotient du
degré , et un reste qui ne contiendra
pas l’inconnue , puisqu’on peut continuer la
division tant que entre dans le reste. Or, il
est clair qu’en multipliant le quotient par
le diviseur , puis ajoutant le reste , on
reproduira le dividende , savoir :
Cctte équation n’a pas, comme la précédente,
besoin, pour subsister, qu’on donne à une
valeur déterminée ; elle est vraie, quelque
nombre qu’on substitue pour ; c’est une
équation identique. En effet, si l’on exécutait
les calculs qui sont indiqués dans le second
membre, on devrait retrouver le premier
, et cela sans qu’il soit nécessaire d’attribuer
à de valeur particulière. Cela posé, puisqu’ici
est quelconque, faisons ; le
terme se changera en un nombre ;
sera nul ; et , qui ne contient pas
restera ce qu’il est, on aura ; c’est-à-dire
que, si l’on divise le polynôme par
, le reste sera
ou ce que devient le polynôme , quand
on y remplace par .
Admettons maintenant que satisfasse à l’équation proposée, ou rende nul ; on aura donc , et ; ainsi est, dans ce cas, exactement divisible par . Comme on est convenu d’appeler racine d’une équation toute valeur de qui y satisfait, on énonce ainsi ce théorème : Toute équation est divisible sans reste par l’inconnue moins sa racine. Nous voyons en outre que si n’est pas racine, ne divise pas , puisque le reste est qui n’est pas
Résoudre l’équation revient à rendre nul le produit . Or, non-seulement jouit de cette propriété ; mais tout nombre qui rend nul le polynôme , du degré , en jouit pareillement. Si donne , on aura aussi ; et de même si donne , on aura , et ainsi de suite. Comme les degrés des quotients , s’abaissent graduellement d’une unité chaque fois, après divisions successives, on arrive au quotient du premier degré, et on a
C’est-à-dire que tout polynôme du degré
peut étre considéré comme le produit de
facteurs binômes du premier degré, et
que l’équation proposée admet
racines . On ne
pourrait supposer que fût en même temps
le produit d’un autre système de facteurs
binômes dont
tous ou plusieurs seraient différents des précédents.
En effet, si admettait le facteur
, étant différent des nombres , , , en faisant , on aurait ou .
Or, devient qui
n’est pas nul ; donc devient quand
on fait , savoir , pour
; et comme
n’est pas nul, c’est
qui l’est, et ainsi de suite. On trouverait
enfin , ou , contre l’hypothèse.
Ainsi, toute équation du degré
ne peut être décomposée qu’en un seul système
de facteurs binômes du premier degré, et
admet racines seulement.
Puisqu’on reproduit identiquement le polynôme proposé , en multipliant les facteurs binômes , , pour savoir comment les coefficients sont èomposés à l’aide des racines > il suflit d’exécuter la multiplication. Si, par exemple, on prend ces trois facteurs binômes