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$+p^{2}x^{\mathrm {m} -2}+\cdots =0$ ; ce quotient s’obtient très-aisément (voyez Division et Composition des équations), et on trouve les autres racines en résolvant une équation d’un degré moindre d’une unité que celui de la proposée.

Si, par exemple, on sait que $x=1$ est racine de l’équation $x^{3}-7x+6=0$, en divisant par $x-1$, on trouve l’équation du 2^e degré $x^{2}+x-6=0$, d’où on tire $x=2$ et $x=-3$. Les trois racines de la proposée sont donc connues.

II. S’il suit de la nature d’un problème que plusieurs des racines inconnues soient liées entre elles par une relation donnée, on peut toujours abaisser le degré de l’équation proposée ; l’exemple suivant montrera comment on doit gouverner le calcul.

Je suppose qu’on sache, par un moyen quelconque, que deux des racines $x$ et $a$ de l’équation $x^{3}-37x-84=0$ sont soumises à cette condition $a+2x=1$ ; entre ces deux équations, on a encore cette relation, $a^{3}-37a-84=0$, qui exprime que $a$ désigne une racine. Éliminons $a$ de cette dernière équation, en y remplaçant $a$ par sa valeur $1-2x$, tirée de la précédente, nous aurons

$2x^{3}-3x^{2}-17x+30=0$,

$x^{3}-37x-84=0$.

Ces équations ne peuvent coexister sans avoir une racine commune ; elles ont donc un facteur commun que le calcul apprend à trouver, et, en effet, on reconnaît que $x+3$ les divise l’une et l’autre. En posant $x+3=0$, on a $x=-3$, et par suite $a=7$ ; ce sont les deux racines de la proposée qui sont liées par la relation donnée. Quant à la 3^e, on la trouve bientôt : il suffit de recourir au premier cas traité ci-dessus ; elle est $x=-4$.

En général, si, entre les racines $x,a,b\cdots$ de l’équation $X=0$, il existe une relation connue, exprimée par l’équation $M=0$, en fonction de $x,a,b\cdots$ on remplacera $x$ par $a,b\cdots$ dans la proposée, et on aura des équations $A=0$, $B=0\cdots$, qui exprimeront que $a,b\cdots$ sont des racines. À l’aide de ces équations, on éliminera (voyez Élimination) de $M=0$ toutes ces racines $a,b\cdots$, en sorte qu’il ne reste plus que $x$ dans cette équation. Il devra exister un facteur commun entre cette équation finale en $x$ et la proposée $X=0$, car, sans cela, la relation donnée $M=0$ serait absurde. La méthode du diviseur commun (voyez ce mot) fera connaltre quel est ce facteur, que nous représenterons par $f(x)=0$. Cette équation étant résolue, on obtiendra celle de nos racines qui a été désignée dans $M$ par la lettre $x$, et par suite on aura $a,b\cdots$ ; en sorte que le prohlème se trouvera ainsi ramené à la résolution d’équations de moindres degrés que $X=0$.

III. Les Équations réciproques sont celles dont tous les termes étant transposés dans un membre et ordonnés suivant les puissances de l’inconnue, ont des coefficients égaux et de même signe pour les termes également distants des extrêmes. La forme générale des équations réciproques est

$kx^{\mathrm {n} }+px^{\mathrm {n} -1}+qx^{\mathrm {n} -2}+\cdots +qx^{2}+px+k=0$ (1)

Il est d’abord évident que $x=-1$ est raeine de cette équation, quand le degré n est impair, puisqu’en substituant $l$ à $x$, on a $-k+p-q\cdots +q-p+k$, quantité dont les termes s’entre·détruisent deux à deux, et qui se réduit par conséquent à zéro. En divisant la proposée par $x+l$, il n’y aura point de reste, et le quotient sera un polynôme de degré pair ; il suit du fait même de la division (voyez Composition) que ce quotient forme une équation réciproque : il ne reste donc plus qu’à traiter les équations réciproques de degré pair, sous la forme

$kx^{2\mathrm {m} }+px^{2\mathrm {m} -1}+qx^{2\mathrm {m} -2}+\cdots +qx^{2}+px+k=0$ (2)

Une propriété de ces équations c’est que si $l$ est une racine, ${\tfrac {1}{l}}$ en est une autre. Il suffit pour s’en convaincre de substituer à $x$ ces deux quantités, et de remarquer que les deux résultats sont

$kl^{2\mathrm {m} }+pl^{2\mathrm {m} -1}+\cdots k$, ${\tfrac {k}{l^{2\mathrm {m} }}}+{\tfrac {p}{l^{2\mathrm {m} -1}}}+k.$

Or, ce dernier étant multiplié par$l^{2\mathrm {m} }$ reproduit tous les termes de l’autre en ordre rétrograde ; si donc le premier polynôme est = 0, le deuxième l’est aussi.

Accouplons deux à deux les termes de l’équation (2) qui ont même coefficient, et divisons tout par $x^{\mathrm {m} }$ (ce qui revient à multiplier par $x^{-\mathrm {m} }$, il viendra

$k(x^{\mathrm {m} }+x^{-\mathrm {m} })+p(x^{m-1}+x^{-(\mathrm {m} -1)})+q(x^{m-2}+x^{-(\mathrm {m} -2)})\cdots +t=0.$

Comme l’équation (2) a un nombre impair de termes, celui du milieu, de la forme $tx^{\mathrm {m} }$ est le seul dont le coefficient ne se répète pas, et la dernière équation est terminée par le terme constant $t.$

Soit posé (3)

$x+x^{-1}=z.$

D’où,

$x^{2}+x^{-2}=z^{2}-2.$

$x^{3}+x^{-3}=z^{3}-3(x+x^{-1}).$

$x^{4}+x^{-4}=z^{4}-4(x^{2}+x^{-2}-6).$

$x^{5}+x^{-5}=z^{5}-5(x^{3}+x^{-3}-10(x+x^{-1}).$

Ces équations s’obtiennent en élevant la première aux puissances 2, 3, 4, 5…, il est clair qu’elles sont toutes comprises sous la forme.

$x^{\mathrm {i} }+x^{-\mathrm {i} }=z^{\mathrm {i} }-i(x^{\mathrm {i} -2}+x^{-(\mathrm {i} -2)})-i{\tfrac {\mathrm {i} -1}{2}}(x^{\mathrm {i} -4}+x^{-(\mathrm {i} -4)})+\cdots$

Les coefficients sont ceux de la puissance