en effet de prendre la projection de cette ligne hélicoïdale sur l’axe du cylindre.
« De la suit la treizième conclusion : Si une ligne hélicoïdale est, de la susdite manière, tracée le long de toutes les parties proportionnelles du cylindre et n’est pas prolongée au delà de toutes ces parties proportionnelles, il lui correspond une ligne droite qui est menée au travers de toutes ces parties proportionnelles et qui ne se prolonge pas au delà de toutes ces parties…
» Quatorzième conclusion[1]. Aucune ligne droite ne peut être menée au travers de toutes ces parties proportionnelles, à moins qu’elle ne soit prolongée au delà de toutes ces parties proportionnelles. Si elle est prolongée, en effet, au travers de tout le cylindre, de façon à atteindre l’extrémité C et à toucher le corps extérieur avec lequel le cylindre lui-même est en contact, elle est prolongée au delà de toutes les parties proportionnelles, puisqu’aucune d’elles n’atteint à l’extrémité C, comme on la dit en la seconde conclusion. Si, au contraire, cette ligne droite n’est pas prolongée jusqu’à l’extrémité C,… il en résulte qu’elle s’arrête à quelque terme en deçà de C, de telle sorte qu’entre ce terme et le corps extérieur que touche le cylindre, il reste quelque chose du cylindre. Mais au delà de tout terme situé en deçà de C, il y a certaines parties proportionnelles… Cette ligne droite n’est donc pas tracée au travers de toutes les parties proportionnelles. Ainsi il n’y a pas de ligne droite qui soit tracée au travers de toutes les parties proportionnelles, à moins tpi’elle ne soit prolongée au delà de toutes ces parties…
» De cette conclusion et de la précédente résulte la seizième conclusion[2] : Il n y a pas de ligne hélicoïdale qui puisse être, de la manière indiquée, tracée le long de toutes les parties proportionnelles du cylindre ; aucune telle ligne, en effet, n’est tracée au delà de toutes ces parties proportionnelles, comme cela se voit par la définition même du cas que l’on considère (ut apparet per casum) ; et cependant, elle ne saurait être tracée le long de toutes ces parties, à moins de se prolonger au delà de toutes ces parties, comme on le voit par les deux conclusions précédentes…
» De ces propositions, je tire la conclusion principale : Aucune ligne hélicoïdale tracée le long des parties proportionnelles du cylindre n’est infinie en longueur ; on ne poserait pas, en effet, qu’une telle ligne est infinie si elle n’était tracée le long de toutes
