en sens contraire des deux rotations précédentes, et dans le temps un cercle épicycle E de rayon R, tandis que le centre C de ce nouvel épicycle décrit un nouveau cercle déférent δ ayant pour centre le centre T de la terre et ϱ pour rayon ; le mouvement du point C sur le cercle δ est uniforme ; il a lieu d’Occident en Orient et s’achève en un temps τ donné par l’égalité
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Considérons un premier instant où, l’épicycle se trouvant en e et son centre occupant la position c, la planète passe à l’apogée A. Prenons également un instant ultérieur quelconque, où la planète se trouve en P, et le centre de l’épicycle ε en γ.
Complétons le parallélogramme dont Tγ et γP sont deux côtés consécutifs ; soit C le quatrième sommet de ce parallélogramme. La distance TC étant constamment égale au rayon ϱ de l’épicycle ε, le lieu du point C est une circonférence de cercle δ, de rayon ϱ, ayant pour centre le centre T de la Terre.
À l’instant pris comme initial, ce point était évidemment en Γ sur la ligne TcA. Depuis ce temps, il a décrit d’Occident en Orient l’arc ΓC. L’angle ΓTC est égal à la somme de l’angle cTγ et de l’angle αγP. Or cγ est l’arc décrit d’Occident en Orient, sur le déférent D, par le centre γ de l’épicycle εs ; αP est l’arc décrit par la planète, suivant le même sens de rotation et dans le même temps, sur l’épicycle ε. On en conclut sans peine que le point C se meut d’Occident en Orient, sur le cercle δ, avec une vitesse angulaire uniforme égale à la somme des vitesses angulaires de circulation du point γ sur le déférent D et de la planète sur l’épicycle ε ; la révolution du point C s’accomplit donc en un temps τ donné par la formule (1).
La distance CP est constamment égale à Tγ ou à R. La planète est donc toujours sur une circonférence de cercle E de ravon R et de centre C.
Supposons cette circonférence E animée, autour du point T, de la même rotation que son centre C. Prolongeons la ligne TC jusqu’à ce qu’elle rencontre en Π la circonférence E ; Π est la position actuellement occupée par le point de celle circonférence qui se trouvait en A à l’instant initial ; la planète a donc, pendant le temps considéré, parcouru sur la circonférence E, de Π en P, l’arc ΠP. Or, l’angle ΠCP est égal à l’angle Pγα. La planète se meut donc, sur le second épicycle E, en sens contraire de son mouvement sur le premier épicycle mobile, mais avec la même vitesse angulaire
