Or ces égalités et ces inégalités représentent les seuls postulats fondamentaux de l’Arithmétique ; toutes les règles de calcul imaginées en Arithmétique pour combiner les nombres vont s’étendre aux longueurs.
La plus immédiate de ces extensions est celle de la multiplication ; la longueur obtenue en mettant bout à bout n longueurs égales entre elles et égales à pourra être représentée par le symbole . Cette extension est le point de départ de la mesure des longueurs, qui va nous permettre de représenter chaque longueur par un nombre accompagné de la mention d’une certaine longueur-étalon choisie une fois pour toutes.
Choisissons, en effet, une telle longueur-étalon, par exemple le mètre, c’est-à-dire la longueur que présente, dans des conditions bien déterminées, une certaine barre métallique déposée au bureau international des poids et mesures.
Certaines longueurs pourront être reproduites en mettant bout à bout n longueurs égales à un mètre ; le nombre n accompagné de la mention du mètre représentera pleinement une telle longueur ; nous dirons que c’est une longueur de n mètres.
D’autres longueurs ne pourront être reproduites de la sorte ; mais elles pourront être reproduites en mettant bout à bout p segments égaux, tandis que q de ces mêmes segments, mis à la suite les uns des autres, reproduiraient la longueur du mètre ; une telle longueur sera alors entièrement connue lorsqu’on connaîtra la fraction accompagnée de la mention du mètre ; ce sera une longueur de mètres.
Un nombre incommensurable, toujours accompagné
