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deux parties ; l’une connue, c’est l’intérêt du capital entier sur le pié du denier donné ; l’autre inconnue, c’est une certaine portion du capital qu’il faut prendre pour completter le payement. Le capital étant écorné par le premier payement, l’intérêt sera moins fort la seconde année, & conséquemment (vû l’égalité des payemens) la portion qu’on prendra sur le capital sera plus grande, & ainsi de suite d’année en année. Ce qui donne deux suites, l’une décroissante pour les intérêts, l’autre croissante pour les diverses portions du capital, je m’attache à celle-ci ; & pour découvrir la loi qui y régne, je nomme z, y, x, &c. dans le même ordre, les portions du capital compétantes aux premier, second, troisieme, &c. payemens, de sorte que z + y + x + &c. = a.

Le premier payement sera…	$\scriptstyle {\frac {ai}{d}}+z$.
Le second…	$\scriptstyle {\frac {ai-yi}{d}}+y$.
Le troisieme…	$\scriptstyle {\frac {ai-zi-yi}{d}}+x$.
&c.

14. Comme ces payemens sont supposés égaux, on en peut former diverses équations, comparant le premier avec le second, celui-ci avec le troisieme, &c.

La premiere équation fait trouver… $\scriptstyle y=z\times {\frac {d+i}{d}}$

La seconde… $\scriptstyle x=y\times {\frac {d+i}{d}}$, ou

(substituant au lieu de y sa valeur)… $\scriptstyle x=z\times \left({\frac {d+i}{d}}\right)^{2}$

Ce qui suffit pour donner à connoître que la suite en question est une progression géométrique, dont l’exposant est $\scriptstyle {\frac {d+i}{d}}=p$ : & dès-là le problème est résolu ; car des cinq élémens qui entrent en toute progression géométrique, (Voyez Progression) trois pris comme on voudra étant connus, donnent les deux autres. Or on connoît ici la somme a, le nombre des termes n, & l’exposant p : on connoîtra donc les deux autres, & nommément le premier terme dont il s’agit ici principalement… il sera $\scriptstyle a\times {\frac {{\overline {p}}-1}{p^{n}-1}}$ ; à quoi ajoutant l’intérêt du capital entier qui est $\scriptstyle a\times {\overline {p-1}}$, on aura $\scriptstyle r=a\times {\overline {{\frac {p-1}{p^{n}-1}}+p-1}}$, ou (réduisant tout au dénominateur $\scriptstyle p^{n}-1$) $\scriptstyle r=a\times {\frac {p^{n-1}-p^{n}}{p^{n-1}}}$. Mais comme cette expression de la valeur de r exige dans l’application des réductions pénibles, au lieu de p remettant $\scriptstyle {\frac {d+i}{d}}$ qui lui est égal, naît une nouvelle formule qui a cela de commode, que toutes les réductions y sont faites d’avance, & qu’il n’y a qu’à substituer. On la voit ci-dessous avec celles qui en dérivent d’une part, & vis-à-vis les mêmes par les logarithmes.

15. $\scriptstyle r={\frac {ai}{d}}\times {\frac {\overline {d+i}}{\overline {{\overline {d+i}}^{n}-d^{n}}}}...{\overline {log.r}}=$
$\scriptstyle log.a+log.i+{\overline {log.{\overline {d+i}}}}\times n-{\overline {log.d}}-{\overline {log.{\overline {d+i}}^{2}-d^{n}}}$.

$\scriptstyle a={\frac {dr}{i}}\times {\frac {\overline {{\overline {{d+i}^{n}}}-d^{n}}}{{\overline {d+i}}^{n}}}..{\overline {log.a}}=$
$\scriptstyle {\overline {log.d}}+{\overline {log.r}}+{\overline {log.{\overline {{d+i}^{n}}}-d^{n}}}-{\overline {log.i}}-{\overline {log.{\overline {d+i}}\times n}}$

$\scriptstyle n=..................{\frac {{\overline {log.dr}}-{\overline {log.{\overline {dr-ai}}}}}{log.{\frac {d+i}{d}}}}$

Envain ressasseroit-on ces formules pour en tirer une qui donnât directement la valeur de $\scriptstyle {\frac {d+i}{d}}$ ou

de p ; on se trouve nécessairement renvoyé à une équation du degré n.

16. Comme z (ou la portion du capital qui entre dans le premier payement) est la seule vraie inconnue de cette question ; si on veut l’avoir directement, de l’équation ci-dessus $\scriptstyle z+y+x+$ &c. $\scriptstyle =a$ (après avoir préalablement réduit tout en z) on tirera généralement
$\textstyle z=a\times {\frac {d^{n-1}}{{\overline {\overset {n-1}{d}}}+{\overline {{\overset {n-2}{d}}\times {\overline {d+i}}}}\ +\ {\overline {{\overset {n-1}{d}}\times {\overline {d+i}}^{2}}}+\ .\ .\ .+{\overline {d+i}}^{n-1}}}$. C’est-à-dire que pour avoir z, il faut multiplier a par une fraction dont le numérateur étant $\scriptstyle d^{n-1}$, le dénominateur est la somme des produits des puissances successives de d (depuis l’exposant $\scriptstyle {\overline {n-1}}$ jusqu’à l’exposant 0 inclusivement) multipliées terme à terme, mais dans un ordre renversé, par les puissances pareilles de $\scriptstyle {\overline {d+1}}$.

17. Remarquez que cette derniere formule n’est la formule particuliere de z (premier & plus petit terme de la progression que forment entr’elles les diverses portions du capital) que parce qu’on a pris pour numérateur de la fraction le premier & plus petit terme du dénominateur, savoir $\scriptstyle d^{n-1}$. Si, (laissant d’ailleurs tout le reste du second membre dans le même état) on eût pris pour numérateur le second terme du dénominateur, sçavoir $\scriptstyle {\overline {d^{n-2}\times {\overline {d+i}}}}$, on eût eu la formule de y ; celle de x, si on eût pris le troisieme, &c. En un mot, la formule donnera la valeur du terme de la progression correspondant (quant au rang) à celui du dénominateur qu’on aura pris pour numérateur de la fraction… Cette remarque trouvera plus bas son application.

18. Exemple. Que la somme prétée soit 10000 livres, l’intérêt à 4 pour $\scriptstyle {\frac {0}{0}}$, & qu’il y ait 4 payemens égaux.

	a = 10000 livres.
Faisant		d=100	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\}$	$\scriptstyle d+id={\frac {102}{100}}={\frac {26}{25}}$	& substituant, on trouvera
	$\scriptstyle i=4$
	$\scriptstyle n=4$
1°. Par la formule du N°. 15)
$\scriptstyle r={\frac {10000}{25}}\times {\frac {456976}{66351}}={\frac {182790400}{66351}}=2754\ liv.\ {\frac {59745}{66351}}$
$\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$	$\scriptstyle z=10000\times {\frac {1562}{15625+16250+16900+17575}}={\frac {156250000}{66351}}$
	$\scriptstyle z$$\scriptstyle =2354\ liv.\ {\frac {59746}{66351}}$
	Ajoutant 400 liv. pour l’intérêt de la 1re année, on a comme ci-devant… $\scriptstyle r=2354\ liv.\ {\frac {59746}{66351}}$.
3°. Par les logarithmes) celui de r se trouve 3.4401058 : or le nombre qui répond à ce logarithme est entre 2754 & 2755, beaucoup plus près de ce dernier.

19. Dans la question qu’on vient de résoudre (le capital, l’intérêt, le nombre & les termes des payemens restant d’ailleurs les mêmes) si l’on supposoit que la dette originaire ne fût exigible que dans un an, au lieu de l’être actuellement, comme on l’avoit supposé N°. 12 : quel seroit alors chaque payement égal ?

Ce qui rend l’espece du cas présent différente de celle du précédent ; c’est que le premier payement se faisant au même terme que la dette originaire eût dû être payée, n’est point sujet à intérêts, & sera pris en entier sur le capital. Procédant d’ailleurs comme ci dessus, on retrouve encore entre les diverses portions du capital z, y, x, &c. la progression géométrique dont l’exposant est $\scriptstyle {\frac {d+i}{d}}$ ; avec cette difference que z (qui en étoit là le premier & plus petit terme, parce qu’il étoit joint au plus fort intérêt) en est au contraire ici le dernier & plus