II. La force du jet étant connue, trouver la plus grande distance où la bombe peut être portée sur un plan quelconque, fig. 1. 2. & 3. Pl. VIII. n°. 2.
Il est évident par tout ce que l’on a exposé précédemment, que la plus grande distance où la bombe peut être portée sur un plan quelconque avec une charge de poudre exprimée par la force du jet AE, est déterminée par la partie AM du plan, comprise entre le point A, où l’on suppose le mortier & la parallele LM, à la force du jet AE, menée de l’extrémité L de la ligne CL qui coupe l’arc ALE en deux également. C’est pourquoi il ne s’agit que de trouver la valeur de AM dans les fig. 1. 2. & 3. pour la résolution du problème proposé.
Lorsque le plan est horisontal (fig. 1.), on a déja vu que la plus grande distance où la bombe peut tomber est égale à la moitié de la force du jet AE, & qu’elle se trouve en tirant le mortier sous l’angle LAM de 45 degrés.
Si le plan AY (fig. 2.) est incliné au-dessus de l’horison AX, d’une quantité connue YAX, il faut d’abord trouver l’angle de projection de la plus grande portée LAM, comme on l’a enseigné ci-devant, & chercher ensuite la valeur de la ligne de projection AL.
Pour cet effet, considérez que l’angle NAY est droit ; qu’ôtant de cet angle les angles connus NAE & LAY, il restera l’angle EAL : or dans le triangle rectangle ACL, connoissant AC égal à la moitié de la force du jet AE, & un angle CAL, on viendra par la Trigonométrie à la connoissance de AL.
Présentement dans le triangle AML, on connoîtra le côté AL, l’angle LAM, & AML égal à MAX, plus l’angle droit ARM ; c’est pourquoi on viendra par la Trigonométrie à la connoissance de la plus grande distance AM, où la bombe peut être portée avec la charge du mortier exprimée par la force du jet A E.
Si le plan est incliné sous l’horison comme AZ (fig. 3.), & qu’on connoisse l’angle d’inclinaison XAZ formé par l’horisontale AX & le plan AZ, on cherchera d’abord, comme dans le cas précédent, l’angle de projection LAM, de la plus grande portée de la bombe ; on ôtera ensuite de l’angle droit NAZ, l’angle de projection LAZ. il restera l’angle NAL, auquel ajoutant NAC égal à celui de l’inclinaison du plan XAZ, on aura EAL, ou CAL. Alors dans le triangle ACL, connoissant, outre cet angle, le côté CA, égal à la moitié de la force du jet, on viendra à la connoissance de AL.
La ligne de projection AL étant ainsi connue, de même que les angles de la base du triangle LAM, savoir LAM & AML (ce dernier est égal à APG, moins PAG), il sera aisé de venir par la Trigonométrie à la connoissance de AM, ou de la plus grande portée de la bombe.
III. La plus grande distance où une bombe puisse aller sur un plan quelconque étant connue, & la force du jet, trouver la distance où elle ira, tirée sous tel angle de direction que l’on voudra, le mortier étant toûjours chargé de la même quantité de poudre, ou, ce qui est la même chose, la force du jet étant toûjours la même.
Lorsque le plan est horisontal, les différentes portées sont entr’elles comme les sinus des angles doubles de l’inclinaison de mortier ; c’est pourquoi l’on trouvera la distance demandée par cette analogie.
Comme le sinus total est au sinus de l’angle double de l’inclinaison du mortier ; ainsi la plus grande distance est à la distance demandée.
Si le plan donné AY (fig. 5.) est incliné sur l’horison AX, du centre O de l’arc ALN, on tirera le rayon OF : comme l’arc ALF est double de celui de l’inclinaison du mortier, l’angle AOE sera con-
le triangle rectangle OCA, le côté AC égal à la moitié de la force du jet, & l’angle OAC, qui est égal à celui de l’inclinaison du plan YAX, on viendra aisément à la connoissance de OA. Ainsi dans le triangle AOF, on connoîtra les angles & les côtés OA & OF, qui feront venir à la connoissance de la ligne de projection AF. Dans le triangle AFG, on connoîtra le côté AF ; de plus l’angle d’inclinaison donné FAG, & l’angle AGF égal à APG, plus PAG ; par conséquent on trouvera par la Trigonométrie la distance demandée AG.
Si le plan AZ est incliné sous l’horison (fig. 6.) il est évident qu’on viendra de la même maniere à la connoissance de sa ligne de projection AF, & ensuite à celle de la distance demandée AG.
IV. La plus grande distance où une bombe puisse aller sur un plan quelconque étant connue, & la force du jet, trouve l’angle de projection ou d’inclinaison du mortier pour la faire tomber à une distance donnée.
Si le plan est horisontal, on fera cette analogie.
Comme la plus grande distance est à la distance donnée ; ainsi le sinus total est au sinus de l’angle double de celui de projection.
Ce sinus étant connu, on cherchera dans les tables de sinus l’angle auquel il appartiendra ; sa moitié sera la valeur de l’angle de projection demandé.
Si le plan est incliné au-dessus ou au-dessous de l’horison comme AY & AZ (fig. 5. & 6.), il y a plus de difficulté à trouver l’angle dont il s’agit ; voici néanmoins une méthode assez facile pour y parvenir.
Nous supposerons d’abord (fig. 5.) que le plan AY est élevé sur l’horison AX d’une quantité connue YAX ; que EA est la force du jet, & l’arc ALE décrit du point O, milieu du diametre AN, renferme toutes les différentes lignes de projection que la charge de poudre du mortier, ou la force du jet peut faire décrire à la bombe. Nous supposerons aussi que AG est la distance donnée. C’est pourquoi si l’on imagine que par G, on a mené GF parallele à AE, qui coupe l’arc ALE en s, & F ; tirant du point A, les lignes de projection Af, & AF, elles donneront l’angle demandé fAG, ou FAG.
Pour venir à la connoissance de cet angle par le calcul, il faut observer que dans le triangle AGF, on connoît le côté donné AG ; de plus l’angle AGF égal à GAP plus GPA ; qu’ainsi si l’on parvient à la connoissance de GF, ou de AF, on pourra connoître par la Trigonométrie, l’angle de projection FAG.
Pour cet effet, soit tiré du centre O de l’arc ALF sur AE, la perpendiculaire OC, qui étant prolongée jusqu’à la rencontre de cet arc en L, le coupera en deux également, ainsi que AE en C, & Ff en T.
On aura le triangle rectangle ACO, dans lequel le côté AC qui est égal à la moitié de la force du jet AE sera connu, ainsi que l’angle OAC, égal à celui de l’élévation du plan YAX, ou GAP ; c’est pourquoi on viendra par la Trigonométrie à la connoissance de OC & de OA, égale à OL.
Présentement si l’on prolonge FG jusqu’à ce qu’elle rencontre l’horisontale AX dans le point P, il sera aisé, dans le triangle rectangle APG, semblable au triangle ACO, de venir à la connoissance de AP & de PG.
Comme CT est égale à AP, à cause des paralleles AE & FP, OT qui est égal à OC plus CT sera connue ; si l’on ôte OT de OL, il restera TL.
Cette ligne étant connue, on viendra par la propriété du cercle, à la connoissance de FT ou Tf, en multipliant OL plus OT par TL, & extrayant la racine quarrée du produit.
