la distance où ce corps ira tomber, soit sur un plan horisontal AX, ou incliné au-dessus de l’horison AY, ou au-dessous AZ ; il faut sur AE, quadruple de AB, décrire un arc tangent au plan, qui coupera la ligne de projection en F ou f ; si l’on abaisse de ce point la verticale FfG, le point G où elle rencontrera les plans AX, AY & AZ, sera celui où le corps ira tomber.
Pour le démontrer, tirez la corde EF. On aura les deux triangles semblables EAF, FAG ; car les angles EAF, AFG sont égaux étant alternes : de plus, l’angle FEA qui a pour mesure la moitié de l’arc FfA, est égal à FAG qui étant formé de la tangente AG & de la corde FA, a pour mesure la moitié du même arc FfA : donc les deux triangles AEF & FAG sont semblables. C’est pourquoi l’on a . Mais dans la proportion continue le premier terme est au dernier comme le quarré du premier est au quarré du second. Donc Et . Les deux premiers termes de cette derniere proportion expriment les vitesses que le mobile acquiert en tombant librement de E en A, & de F en G ; car les vitesses peuvent être exprimées par les racines quarrées des espaces que la pesanteur fait parcourir au mobile. Il suit de-là que les espaces EA & AF étant entr’eux comme les vitesses précédentes, sont parcourus uniformément dans le même tems. Ainsi ils peuvent exprimer ces vitesses, mais les espaces parcourus par la pesanteur sont entr’eux comme les quarrés des vitesses. Donc, puisque EA & FG sont entr’eux comme les quarrés de EA & de AF, ces lignes sont celles que la pesanteur fait parcourir à la bombe ou au mobile dans le tems qu’il decriroit EA & AF uniformément, c’est-à-dire dans un tems double de celui qu’il employeroit à tomber de B en A, d’un mouvement accéléré, ou ce qui est la même chose, dans celui qu’il employeroit à monter de A en B, & à descendre de B en A.
Il est évident que cette démonstration s’applique également aux figures 1, 2 & 3 (Planc. VIII. n°. 2.) à la ligne de projection Af des mêmes figures, & à toutes les autres qu’on peut tirer de A aux différens points de l’arc AfFE ; que si le plan est horisontal comme AX (fig. 1.), l’arc AfFE est une demi-circonférence dont AE est le diametre : mais que si le plan est élevé sur l’horison comme AY (fig. 2.) l’arc précédent est plus petit que la demi-circonférence, & qu’il est plus grand quand le plan est abaissé sous l’horison, comme AZ (fig. 3.)
Pour décrire ces arcs dans ces deux derniers cas, il faut élever du point A sur AY & AZ, la perpendiculaire indéfinie AN (fig. 2 & 3.) ; puis du point C milieu de AE, élever sur cette ligne une autre perpendiculaire CL, qui étant prolongée jusqu’à la rencontre de AN, la coupera dans le point O qui sera le centre de l’arc. C’est pourquoi, si de ce point pris pour centre, & de l’intervalle OA ou OE on décrit l’arc AfFN terminé en N (fig. 3.) par sa rencontre avec AN (fig. 3.) & prolongée jusqu’en E (fig. 4) on aura l’arc demandé.
La distance AG à laquelle la bombe va tomber du mortier, se nomme la ligne de but, ou l’amplitude de la parabole ; AE quadruple de AB, la force du jet ; & FG ou fG, la ligne de chûte.
Comme il n’est point d’usage de tirer les bombes parallelement à l’horison, nous n’entrerons point dans le détail des circonstances particulieres de ce jet ; nous donnerons seulement la maniere de déterminer la hauteur le long de laquelle la bombe doit tomber pour acquérir la vitesse nécessaire pour décrire la ligne de projection qui dans ce cas est égale à celle de but, pendant que la pesanteur lui fait décrire la ligne de chûte.
Si l’on suppose que du point B (fig. 11), élevé sur l’horisontal AX de la quantité BA, on ait tiré une bombe avec une charge de poudre déterminée, & que la bombe ait été tomber en G sur AX, pour trouver la hauteur de laquelle elle auroit dû tomber pour acquérir la force ou la vitesse que lui imprime la charge de poudre du mortier pour décrire la ligne de projection BF d’un mouvement uniforme, pendant que la pesanteur lui fera décrire BA ou FG d’un mouvement accéléré, il faut mener BF parallele à AX, terminée en F par sa rencontre avec GF perpendiculaire à AX. On coupera BF en deux également en D, & l’on tirera AD, sur laquelle on élevera la perpendiculaire DE, qui sera terminée en E par sa rencontre avec le prolongement de AB ; l’on aura EB pour la hauteur demandée.
La bombe en tombant de B en A acquiert une vitesse capable de lui faire décrire cette même ligne d’un mouvement uniforme pendant la moitié du tems de la durée de sa chûte d’un mouvement accéléré ; elle doit donc décrire BD moitié de BF, dans le même tems ; comme AB & BD sont ainsi parcourus uniformément dans le même tems, ces deux lignes sont entr’elles comme les vitesses qui les leur font parcourir. Mais à cause du triangle rectangle ADE, l’on a ; ce qui donne . Or la vitesse par la chûte le long de AB est égale à la racine quarrée de AB ; donc la racine quarrée de EB exprime la vitesse par BD : donc EB est la hauteur de laquelle la bombe doit tomber pour acquérir une vitesse capable de pousser la bombe par le mouvement de projection de B en D, dans le tems de la moitié de la durée de la chûte accélérée de la bombe le long de BA. Or dans un tems double cette même vitesse doit lui faire parcourir BF double de BD ; donc elle lui fera parcourir cet espace dans le tems que la pesanteur fera parcourir à la bombe la ligne BA ; donc, &c.
La force du jet, la ligne de projection, & la ligne de chûte sont en proportion continue, c’est-à-dire que (Planc. VIII. n°. 2. fig. 1, 2 & 3.) ; ce qui est évident, puisque les triangles semblables EAF, FAG donnent cette même proportion.
Il suit de-là que lorsqu’on connoît l’amplitude de la parabole, & l’angle de l’inclinaison du mortier, on peut trouver la force du jet. Car dans le triangle FGA on connoît AG par la supposition, ainsi que l’angle FAG. De plus l’angle AGF qui est droit fig. 1, & qui est égal à GAP, plus GPA, fig. 2, & au droit APG moins PAG fig. 3. C’est pourquoi on viendra par la Trigonométrie à la connoissance de GF & de AF. Ces deux lignes étant connues, on trouvera AE, en cherchant une troisieme porportionnelle à GF & AF.
On voit par-là que si l’on tire une bombe avec une charge de poudre quelconque, qu’on observe l’angle d’inclinaison du mortier, & la distance où la bombe sera portée, on peut trouver la hauteur d’où elle auroit dû tomber pour acquérir une force qui agissant sur elle dans la direction du mortier, soit capable de produire le même effet que l’impulsion de la poudre dont il aura été chargé.
Si par les points fF (fig. 4.) on tire fd & FD perpendiculaire à AE, ces lignes seront égales à l’amplitude AG. Or comme tous les points de la demi-circonférence AFfE terminent les différentes lignes de projection selon lesquelles on peut tirer la bombe pour la faire tomber sur AX avec la charge de poudre exprimée par la force du jet AE, il s’ensuit que si de tous ces points on mene des perpendiculaires à AE, ou si l’on tire une infinité
